1 - Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo relacionadas:

a) f x , y = 2 x 2 + y 2 + 4 x - 4 y + 5 ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Essa questão nem nos deu “bom dia” e já mandou a gente determinar os pontos críticos e classifica-los como máximos ou mínimos.

A função que vamos usar será o polinômio

f x , y = 2 x 2 + y 2 + 4 x - 4 y + 5

Ta lembrado de como calculamos os pontos críticos de uma função??

Os pontos críticos de uma função são obtidos calculando o vetor gradiente de f e igualando a um vetor nulo, por exemplo

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 0,0

Com isso, vamos obter um sistema.

A partir daí a gente calcula os possíveis valores que satisfazem esse sistema. Esses valores são as coordenadas dos nossos pontos críticos.

Entendi, mas e como classificamos um ponto crítico??

Para classificar um ponto crítico devemos montar uma matriz formada pelas derivadas parciais f x x , f x y , f y x e f y y , dessa forma

D = f x x f x y f y x f y y

Substituímos os pontos que encontramos nas derivadas.

Calculando esse determinante, ou simplesmente D = f x x f y y - f x y f y x , se D for maior que 0 e f x x também for maior que 0 , o ponto é classificado como ponto de mínimo local.

Se D for maior que 0 e f x x for menor que 0 , o ponto é classificado como ponto de máximo local.

Já se D = 0 , o ponto não é máximo nem mínimo.

Entendeu? Podemos ir para os cálculos agora.

Passo 2

Vamos calcular o vetor gradiente de f , primeiro vamos calcular f x . Nesse momento y se comporta como uma constante.

f x = ∂ f ∂ x = ∂ 2 x 2 + y 2 + 4 x - 4 y + 5 ∂ x

Por derivação de polinômios, temos

f x = 2 · 2 x 2 - 1 + 4 x 1 - 1

f x = 4 x + 4

Agora vamos calcular f y . É a vez de x se comportar como constante.

f y = ∂ f ∂ y = ∂ 2 x 2 + y 2 + 4 x - 4 y + 5 ∂ y

Por derivação de polinômios, vemos que

f y = 2 y 2 - 1 - 4 y 1 - 1

f y = 2 y - 4

Com esses resultados, nosso vetor gradiente é dado como

∇ f = 4 x + 4,2 y - 4

Igualando a um vetor nulo, temos

4 x + 4,2 y - 4 = 0,0

Obtemos o sistema

4 x + 4 = 0 2 y - 4 = 0

Isolando x e y em um lado da igualdade, temos

x = - 1 y = 2

Com isso, encontramos apenas um ponto crítico dado por P = - 1,2 .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

O próximo passo é classificar o ponto que encontramos, pra isso vamos calcular as derivadas que vimos no início.

Vamos calcular f x x derivando f x com relação a x .

f x x = ∂ f x ∂ x = ∂ 4 x + 4 ∂ x = 4

Vamos obter f x y derivando f x com relação a y .

f x y = ∂ f x ∂ y = ∂ 4 x + 4 ∂ y = 0

Vamos obter f y x derivando f y com relação a x .

f y x = ∂ f y ∂ x = ∂ 2 y - 4 ∂ x = 0

Por fim, obtemos f y y derivando f y com relação a y .

f y y = ∂ f y ∂ y = ∂ 2 y - 4 ∂ y = 2

Vamos montar a matriz D e calcular o determinante.

D = 4 0 0 2

D = 8

Obtemos D > 0 , e observando f x x , vemos que ele também é maior que 0 , logo o ponto P = - 1,2 é um ponto de mínimo.

Para sabermos se é mínimo global ou local, temos que analisar a função ou seu gráfico. Vemos que tanto em x quanto em y a ordem polinomial é 2, ou seja, eles têm a cara do gráfico de x 2 , ou seja

Logo, podemos afirmar que o ponto P = - 1,2 é um ponto de mínimo global.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

P = - 1,2 , mínimo global.

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