Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Considere a função

f x , y = 4 x y - x 4 - y 4

O ponto 1,1

  1. É de máximo local
  2. É de mínimo global
  3. É de mínimo local
  4. É de sela
  5. Não é um ponto critico

Passo 1

Devemos primeiro ver se esse ponto é um ponto crítico

f x = - 4 x 3 + 4 y = 0

f y = 4 x - 4 y 3 = 0

Como as duas derivadas é zero ele é um ponto crítico.

Passo 2

Devemos calcular o determinante

H 1,1 = f x x 1,1 f x y 1,1 f y x 1,1 f y y 1,1

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x - 4 x 3 + 4 y = - 12 x 2

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 4 x - 4 y 3 = - 12 y 2

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 4 x - 4 y 3 = 4

Passo 3

Substituindo os valores do ponto vamos encontrar

f x x = - 12

f y y = - 12

f x y = 4

Passo 4

Agora devemos calcular o determinante de

H 1,1 = - 12 4 4 - 12 = 12 ⋅ 12 - 4 ⋅ 4 = 128

Como

H 1,1 > 0

E

f x x 1,1 < 0

Ele é um ponto de máximo local

Resposta

Alternativa (a)

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