Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Cálculo 2 USP, P3 2010, questão 2

Seja f x , y = x e b y 2 + b y + a x em que a e b são números reais não nulos. Encontre os pontos críticos de f e classifique-os em função de a e b .

Passo 1

Partiu encontrar os pontos críticos! Sabemos que esses pontos ocorrem quando as derivadas parciais dão 0 , certo? Sendo assim, calculemos essas derivadas!

f x , y = x e b y 2 + b y + a x

Derivando em relação a x , usamos a regra do produto:

f x = 1 . e b y 2 + b y + a x + x e b y 2 + b y + a x . - a x 2

f x = e b y 2 + b y + a x - a x e b y 2 + b y + a x

Ou seja, a derivada de x , vezes e b y 2 + b y + a x , mais x vezes a derivada de e b y 2 + b y + a x !

Agora, derivemos em relação a y :

f y = x e b y 2 + b y + a x . 2 b y + b

Para isso, apenas tratamos o x como constante e usamos a regra da cadeia ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Próximo passo, igualar cada derivada a 0 !

f x = e b y 2 + b y + a x - a x e b y 2 + b y + a x = 0

Como temos esse termo com o e igual duas vezes, coloquemos em evidência:

1 - a x e b y 2 + b y + a x = 0

E agora, vemos que a única maneira de zerar essa equação é quando o termo entre parêntesis dá 0 , pois não importa o número que elevemos e , ele nunca será 0 ! Para isso, temos que x = a , e então 1 - a x = 0 ;)

Passo 3

Fazendo o mesmo processo para a derivada em relação a y , temos:

f y = x e b y 2 + b y + a x . 2 b y + b = 0

Para essa equação ser zerada, temos que x = 0 , ou y = - 1 2 , certo? Porque, novamente, o termo com o e não vai ser 0 nunca.

Olha a nossa função inicial,

f x , y = x e b y 2 + b y + a x

Repara que x ≠ 0 , isso porque tem uma divisão com x ali, então x = 0 não pode ser ponto crítico.

Assim, nosso único ponto crítico fica sendo a , - 1 2 !

Passo 4

Beleza, agora que temos o ponto crítico, como classificá-lo? Precisamos da matriz com as segundas derivadas, certo? Então, antes de mais nada, cadê essas derivadas? Vamos encontrá-las!

Derivando f x novamente em relação a x , teremos:

f x = e b y 2 + b y + a x - a x e b y 2 + b y + a x

Derivando cada termo da diferença acima, temos:

f x x = - a e b y 2 + b y + a x x 2 - - a e b y 2 + b y + a x x 2 + a x . e b y 2 + b y + a x . - a x 2

Fazendo essa distributiva do - , temos:

f x x = a e b y 2 + b y + a x x 2 - a e b y 2 + b y + a x x 2 - a x . e b y 2 + b y + a x . - a x 2

Como os dois primeiros termos são iguais e de sinais opostos, cortamos eles! Por fim,

f x x = a 2 x 3 e b y 2 + b y + a x

Show! Derivadas em relação a x estão aí :)

Passo 5

Agora, derivemos a f y em relação a y novamente:

f y = x e b y 2 + b y + a x . 2 b y + b

Apenas usando a regra do produto,

f y y =   x e b y 2 + b y + a x . 2 b y + b 2 + 2 b x e b y 2 + b y + a x

Ok.. não parece ter muito mais coisa pra fazer hehehe

Só pro passo não ficar curto além da conta, vamos encontrar as derivadas mistas? Lembrando que f x y = f y x , podemos escolher, entre derivar em relação a y a f x , ou derivar em relação a x a f y ! Fiquemos com a primeira opção :]

f y = x e b y 2 + b y + a x . 2 b y + b

f y x = 1 . e b y 2 + b y + a x . 2 b y + b + x e b y 2 + b y + a x . 2 b y + b . - a x 2

Colocando o termo   e b y 2 + b y + a x . 2 b y + b   em evidência,

f y x = e b y 2 + b y + a x . 2 b y + b 1 - a x

Passo 6

Como o nosso P 0 , candidato a máximo, mínimo ou ponto se sela, é a , - 1 2 , coloquemos esses valores para x e y em cada uma das segundas derivadas para ver o valor que elas assumem!

Para a segunda derivada em relação a x , temos:

f x x a , - 1 2 = a 2 a 3 e b - 1 2 2 + b - 1 2 + a a

f x x a , - 1 2 = 1 a e - b 4 + 1

Para a segunda derivada em relação a y , temos:

f y y a , - 1 2 =   a e b - 1 2 2 + b - 1 2 + a a . 2 b - 1 2 + b 2 + 2 b a e b - 1 2 2 + b - 1 2 + a a

f y y a , - 1 2 =   a e b - 1 2 2 + b - 1 2 + a a . - b + b 2 + 2 b a e b - 1 2 2 + b - 1 2 + a a

Como o termo - b + b 2 = 0 ,

f y y =   2 b a e - b 4 + 1

Para as derivadas mistas, temos:

f y x a , - 1 2 = e b . - 1 2 2 + b . - 1 2 + a a . 2 b . - 1 2 + b 1 - a a

Como o termo 1 - a a = 1 - 1 = 0 ,

f x y = f y x = 0

Passo 7

Beleza, agora é preencher o determinante!

  H a , - 1 2 = 1 a e - b 4 + 1 0 0 2 b a e - b 4 + 1

  H a , - 1 2 = 2 b e - b 4 + 1 2

Agora temos que analisar esse resultado...

Como o termo com o e será sempre positivo, caso b < 0 , então o determinante é menor que 0 , e o P 0 é ponto de sela!

Caso b > 0 , temos a opção de a > 0 também. Nesse caso, teremos o determinante maior que 0 , e o f x x = 1 a e - b 4 + 1 > 0 , então, teríamos um ponto de mínimo local!

Caso b > 0 , temos a opção de a < 0 . Nesse caso, teremos o determinante maior que 0 , e o f x x = 1 a e - b 4 + 1 < 0 , então, teríamos um ponto de máximo local!

Resposta

  1. Caso b < 0 , então o determinante é menor que 0 , e o P 0 é ponto de sela!
  2. Caso b > 0 , temos a opção de a > 0 também, então, teríamos um ponto de mínimo local!
  3. Caso b > 0 , temos a opção de a < 0 também, então, teríamos um ponto de máximo local!

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