Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Seja

f x , y = a x 2 + b x y + c y 3

Onde a ,   b , c são números reais. Se

b 2 - 4 a c < 0

b > 0

Então:

a ( 0,0 ) é ponto de mínimo local

b ( 0,0 ) é ponto de máximo local

c ( 0,0 ) não é ponto crítico

d ( 0,0 ) é ponto de sela

e nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Como todas as alternativas falam sobre a classificação do ponto ( 0,0 ) , vamos assumir que ele é um ponto crítico e classifica-lo.

Vamos começar calculando as derivadas parciais primeiras

∂ f ∂ x = 2 a x + b y

∂ f ∂ y = b x + 3 c y 2

Passo 2

Passo 3

Agora, as derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 2 a x + b y = 2 a

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y b x + 3 c y 2 = 6 c y

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x b x + 3 c y 2 = b

Passo 4

Agora, as derivadas no ponto P 0 = 0,0 :

f x x P 0 = 2 a

f y y P 0 = 0

f x y P 0 = b

Passo 5

Calculando H P 0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

⇒ H P 0 = 2 a b b 0

⇒ H P 0 = 2 a 0 - b b

⇒ H P 0 = - b 2

Como o enunciado diz que b > 0 , então temos que H P 0 < 0 , então este é um ponto de sela.

Resposta

L e t r a   d

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