Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Seja

f x , y = 2 x 3 + x y 2 + 6 x 2 + y 2

Encontre e classifique (como pontos de máximo local, de mínimo local ou de sela) todos ao pontos críticos de f .

Passo 1

O que o enunciado está pedindo é para gente classificar os pontos críticos dessa função. Para ser ponto crítico, precisa zerar as derivadas ao mesmo tempo:

f x ( P 0 ) = 0 ,   f y ( P 0 ) = 0  

Vamos encontrar para que pontos isso acontece. Calculando as derivadas:

f x , y = 2 x 3 + x y 2 + 6 x 2 + y 2

f x = 6 x 2 + y 2 + 12 x ,     f y = 2 x y + 2 y  

Descobrindo onde elas zeram ao mesmo tempo:

f x = 6 x 2 + y 2 + 12 x = 0

f y = 2 x y + 2 y = 0

Aí a gente fica com esse sisteminha para resolver:

6 x 2 + y 2 + 12 x = 0 2 x y + 2 y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Da segunda equação, a gente pode escrever

2 x y + 2 y = 0 ∴ 2 y x + 1 = 0

Daí a gente tem que y = 0 ou x = - 1 . Vamos olhar cada caso

- y = 0

Substituindo na primeira equação

6 x 2 + y 2 + 12 x = 0 ∴ 6 x 2 + 12 x = 0 ∴ x 6 x + 12 = 0

x = 0 ,     x = - 2

Daí a gente tem dois pontos: P 1 = 0 , 0 ,   P 2 = - 2 , 0

- x = - 1

Substituindo na primeira equação

6 x 2 + y 2 + 12 x = 0 ∴ 6 + y 2 - 12 = 0 ∴ y 2 = 6

y = 6 ,     y = - 6

Daí a gente tem dois novos pontos: P 3 = - 1 , 6 ,   P 4 = - 1 , - 6

Aí achamos quadro pontos críticos: P 1 = 0,0 ,   P 2 = - 2,0 , P 3 = - 1 , 6 ,   P 4 = - 1 , - 6 .

Passo 3

Para classificar esses pontos, a gente precisa calcular o determinante 𝐻(𝑃0):

H ( P 0 ) = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Se ele for positivo, nosso ponto é de máximo ou de mínimo. Aí se for de mínimo f x x ( P 0 ) > 0 e se for de máximo f x x ( P 0 ) < 0 . Maaas se for negativo, nosso ponto é ponto de sela. (Se for H ( P 0 ) = 0 não se sabe).

Vamos calcular então essas derivadas de segunda ordem:

f x = 6 x 2 + y 2 + 12 x ,     f y = 2 x y + 2 y  

f x x = 12 x + 12 ,     f y y = 2 x + 2 ,     f x y = f y x = 2 y

H ( P 0 ) = 12 x + 12 2 y 2 y 2 x + 2

Passo 4

Agora é calcular esse determinante para os nossos pontinhos! Vamos calcular H ( 0,0 ) :

H 0,0 = f x x 0,0 f x y 0,0 f y x 0,0 f y y 0,0 = 12 0 0 2 = 24 - 0 = 24

Como H > 0 , e f x x > 0 esse é um ponto de mínimo.

Vamos calcular H ( - 2,0 ) :

H - 2 , 0 = - 12 0 0 - 2 = + ( 12 ⋅ 2 ) - 0 = 24

Como H > 0 , esse é um ponto de máximo ou mínimo. E f x x < 0 confirmamos que esse é um ponto de máximo.

Vamos calcular H - 1 , 6 :

H - 1 , 6 = f x x - 1 , 6 f x y - 1 , 6 f y x - 1 , 6 f y y - 1 , 6 = 0 2 6 2 6 0 = 0 - 24 = - 24

Como H < 0 , esse é um ponto de sela.

Vamos calcular H - 1 , - 6 :

H - 1 , - 6 = f x x - 1 , - 6 f x y - 1 , - 6 f y x - 1 , - 6 f y y - 1 , - 6 = 0 - 2 6 - 2 6 0 = 0 - 24 = - 24

Como H < 0 , esse é um ponto de sela também.

Resposta

P = 0,0 , ponto de mínimo.

P = - 2,0 , ponto de máximo.

P = - 1 , ± 6 , pontos de sela.

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