3. Encontre os eventuais máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função

f x , y = 2 x 3 + x y 2 + 5 x 2 + y 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos achar os pontos críticos da função (máximos locais, mínimos locais e pontos de sela). E o critério para encontra-los é o mesmo que usávamos no calculo de uma variável, ou seja, os pontos críticos de uma função de várias variáveis são aqueles onde as derivadas parciais valem zero, ou pelo menos uma delas não existe.

Uma vez encontrado os pontos críticos, vamos precisar indicar se ele é um ponto de máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar nosso teste da derivada segunda, que consiste em calcular o determinante da matriz hessiana, no ponto crítico P 0 de interesse e analisar o seu sinal.

Para quem não lembra podemos calcular a matriz hessiana por,

H P 0 = f x x P 0 f y y P 0 - f x y P 0 f y x P 0

Agora, dependendo do caso, o ponto pode ser um ponto de máximo, mínimo ou ponto de sela (nem máximo nem mínimo). Assim:

H P 0 > 0 ⟶ P 0 é ponto de máximo ou mínimo

Se f x x P 0 > 0 ⟶ P 0 é ponto de mínimo

Se f x x P 0 < 0 ⟶ P 0 é ponto de máximo

H P 0 < 0 ⟶ P 0 é ponto de sela

H P 0 = 0 ⟶ não se sabe

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a x ,

f x = 6 x 2 + y 2 + 10 x

Agora vamos achar a deriada parcial em relação a y ,

f y = 2 x y + 2 y

O próximo passa agora seria igualar a zero, que nem fazíamos com funções de uma variável. A diferença é que lá, só tínhamos uma derivada, e aqui, temos várias derivadas parciais. Então para um ponto ser um ponto crítico pelo menos uma delas não pode existir, ou todas elas têm que valer zero.

Com isso montamos o seguinte sistema:

6 x 2 + y 2 + 10 x = 0 2 x y + 2 y = 0

Agora precisamos resolver esse sistema!

Passo 3

Rearranjando a segunda equação do sistema ficamos com

2 x y + 2 y = 0

y 2 x + 2 = 0

Para isso ser verdade, temos que

y = 0

Ou

2 x + 2 = 0

x = - 1

Porém esse resultado tem que satisfazer a primeira equação também, então:

Para x = - 1 teremos

6 - 1 2 + y 2 + 10 x = 0

6 + y 2 + 10 - 1 = 0

y 2 - 4 = 0

y 2 = 4

y = ± 2

Ou seja, os pontos - 1 , - 2 e - 1 , + 2 são pontos críticos!

Para y = 0 teremos

6 x 2 + 0 2 + 10 x = 0

x 6 x + 10 = 0

Para essa equação ser verdade temos,

x = 0

Ou

6 x + 10 = 0

x = - 10 6 = - 5 3

Logo, os pontos 0,0 e - 5 3 , 0 também são pontos críticos!

Passo 4

Agora precisamos classificar estes pontos críticos como sendo: máximo, mínimo ou ponto de sela.

Para isso, vamos começar calculando as derivadas segundas! A partir de

f x = 6 x 2 + y 2 + 10 x

f y = 2 x y + 2 y

Calculando a derivada de f x em relação a x , ficamos com

f x x = 12 x + 10

Já a derivada de f x em relação a y ficará,

f x y = 2 y

Para derivada de f y em relação a y , ficamos com

f y y = 2 x + 2

E a derivada de f y em relação a x será

f y x = 2 y

Agora vamos calcular o determinante da matriz hessiana para cada ponto!

Passo 5

Lembra que

H P 0 = f x x P 0 f y y P 0 - f x y P 0 f y x P 0

Começando por P 0 = - 1 , - 2

H - 1 , - 2 = 12 - 1 + 10 2 - 1 + 2 - ( 2 - 2 2 - 2

H - 1 , - 2 = - 2 0 - - 4 - 4

H - 1 , - 2 = - 16

Como H P 0 < 0 , temos um ponto de sela.

Para P 0 = - 1 , + 2

H - 1 , + 2 = 12 - 1 + 10 2 - 1 + 2 - ( 2 + 2 2 + 2

H - 1 , - 2 = - 2 0 - + 4 + 4

H - 1 , + 2 = - 16

Como H P 0 < 0 , temos outro ponto de sela.

Para P 0 = 0,0

H 0,0 = 12 0 + 10 2 0 + 2 - ( 2 0 2 0

H 0,0 = 10 + 2 - 0 0

H 0,0 = + 20

Como H P 0 > 0 e f x x P 0 > 0 , temos um ponto de mínimo.

Por fim, para P 0 = - 5 3 , 0

H - 5 3 , 0 = 12 - 5 3 + 10 2 - 5 3 + 2 - ( 2 0 2 0

H - 5 3 , 0 = - 10 ⋅ - 10 3 + 2

H - 5 3 , 0 = 100 3 - 20

H - 5 3 , 0 = 100 3 - 60 3 = 40 3

Como H P 0 > 0 e f x x P 0 > 0 , temos outro ponto de mínimo.

Resposta

  • - 1 , - 2 e - 1 , + 2 são pontos de sela.
  • 0,0 e - 5 3 , 0 também são pontos de mínimo.

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