Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Passo 1

Devemos começar achando os pontos críticos. Primeiro vamos calcular as derivadas da função

f x = 1 + y cos ⁡ x

f y = sen ⁡ x

Então os pontos críticos são aquele que

1 + y cos ⁡ x = 0

sen ⁡ x = 0

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Passo 2

Da segunda equação temos

x = 0 + k π

Com k sendo um número inteiro.

Dessa forma na primeira equação temos

1 + y cos ⁡ 0 + k π = 0

y cos ⁡ 0 + k π = - 1

O cosseno vai estar sempre entre -1 e 1. Quando k é par, o cosseno vale 1 e quando o k é ímpar, o cosseno vale -1. Logo

y = - 1 k + 1

O ponto crítico é

P 0 = k π , - 1 k + 1

Com k sendo um número inteiro.

Passo 3

Agora devemos calcular o determinante de

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 1 + y cos ⁡ x = - y sen ⁡ x

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y sen ⁡ x = 0

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x sen ⁡ x = cos ⁡ x

Passo 4

Substituindo os valores dos pontos críticos vamos encontrar

f x x P 0 = - - 1 k + 1 sen ⁡ k π

f y y P 0 = 0

f x y P 0 = cos ⁡ k π

Passo 5

Voltando ao determinante

H P 0 = - - 1 k + 1 sen ⁡ k π cos ⁡ k π cos ⁡ k π 0 = - - 1 k + 1 sen ⁡ k π . 0 - cos 2 ⁡ k π = - cos 2 ⁡ k π

Como

cos ⁡ k π = ± 1

Vamos ter

H P 0 = - 1 < 0

Então todos os pontos críticos são pontos de sela, e teremos infinitos pontos de sela.

Resposta

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