Considere f :   R 2 → R dada por f x , y = ( 3 - x ) ( 3 - y ) ( x + y - 3 ) . Assinale a afirmação verdadeira:

  1. f possui exatamente um ponto de sela e três pontos de máximo local
  2. f possui exatamente um ponto de sela e três pontos de mínimo local
  3. f não possui pontos críticos
  4. f possui exatamente um ponto mínimo local e três pontos de sela
  5. f possui exatamente um ponto de máximo local e três pontos de sela

Passo 1

Fala povo, tudo certo?

Você se lembra como podemos verificar pontos de extremos numa função multivariável? Quando a gente tinha uma função de uma única variável f ( x ) por exemplo, como a gente fazia?

Derivava a função e iguala a zero, certo? Com multivariável é a mesma coisa, mas aí usando uma notação mais sofisticada chamada gradiente. Em outras palavras, para calcular os extremos de uma função com várias variáveis, basta que o gradiente dela seja nulo:

∇ f = 0,0

E o que é gradiente mesmo? É derivar a função em cada variável que ela tem. Como assim?

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Depois vamos precisar encontrar os pontos que zeram esse gradiente e por fim falar de matriz Hessiana.

Mas fica tranquilo e não se assusta! Vamos ver isso mais pra frente pra irmos com calma!

Passo 2

Vamos então calcular nosso gradiente!

∂ f ∂ x = 3 - y 6 - 2 x - y

∂ f ∂ y = ( 3 - x ) ( 6 - x - 2 y )

Por definição vimos que essas derivadas precisam ser zero!

3 - y 6 - 2 x - y = 0

3 - x 6 - x - 2 y = 0

Note que podemos zerar a primeira equação fazendo os pontos x , y = ( 0,3 ) ou x , y = ( 3,3 ) . Vamos chamar então esses caras de ponto P 1 e P 2 , respectivamente.

De igual maneira, vamos avaliar quais são os pontos que podem zerar nossa segunda equação ali em cima.

P 3 = 3,0

P 4 = ( 2,2 )

Passo 3

Agora a gente precisa classificar esses pontos aí. Pra fazer isso, precisamos da matriz Hessiana!!

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ y ∂ x   ∂ 2 f ∂ y 2

Ou seja, vamos precisar das derivadas segundas da nossa f e também de suas derivadas cruzadas!

Pras derivadas segunda, eu já vou macetar! Haha

Vou pegar as derivadas primeira que já fizemos e derivar de novo!

∂ 2 f ∂ x 2 = y - 3 ∂ ∂ x 6 - 2 x - y = 2 y - 3

∂ 2 f ∂ 2 y = 3 - x ∂ ∂ y 6 - x - 2 y = 2 ( x - 3 )

Agora as derivas cruzadas:

∂ 2 f ∂ x ∂ y →   Derivar primeiro em x e depois em y ! Ou seja, temos já a derivada em x , agora vamos derivar em y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ y 3 - y 6 - 2 x - y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 9 + 2 x + y

Analogamente, podemos fazer

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ x 3 - x 6 - x - 2 y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 9 + 2 ( x + y )

Logo, nossa matriz Hessiana fica:

H x , y = 2 ( y - 3 ) - 9 + 2 ( x + y ) - 9 + 2 ( x + y ) 2 ( x - 3 )

Passo 4

Com a matriz Hessiana montada, vamos calcular o determinante dela! E como se calcula um determinante mesmo? Para uma matriz 2 × 2 , temos que o determinante é calculado por:

M = a b c d

det ⁡ M = a d - b c

Logo, seguindo a ideia na matriz Hessiana!

det ⁡ H = 2 y - 3 2 x - 3 - - 9 + 2 x + y - 9 + 2 x + y

Passo 5

Vamos avaliar o determinante nos pontos P 1 , P 2 ,   P 3 e P 4 .

P 1 = 0,3

P 2 = 3,3

P 3 = 3,0

P 4 = ( 2,2 )

det ⁡ H P 1 = d e t H P 2 = d e t H P 3 = - 9

Quando o determinante da Hessiana é menor que zero, isso indica um ponto de sela. Logo, temos 3 pontos de sela.

d e t H P 4 = 3 > 0

Quando a Hessiana é maior que zero não podemos confirmar nada, a não ser que isso não é um ponto de sela. Então pra concluir sobre esse ponto precisamos avaliar f x x P 4 , ou seja, precisamos verificar qual é o valor da derivada segunda em relação a x no ponto 4.

f x x = ∂ 2 f ∂ x 2 = 2 y - 3

Avaliado no ponto P 4 = 2,2

f x x = 2 > 0

Ou seja, como temos a derivada segunda neste ponto positivo, temos um ponto de mínimo local.

Logo, temos 3 pontos de sela e 1 ponto de mínimo local.

Letra (d) nossa resposta correta!

Resposta

( d )

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