Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

UNICAMP, Cálculo 2, P1 - 2011.1, Questão 4b

  1. Determine se a função f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y + 4 admite pontos de máximo/ mínimos, e caso sim, identifique-os .

Passo 1

  1. Calculando o gradiente:

f x , y = 3 x 2 - 3 ,   3 y 2 - 3

Igualando a 0,0 , temos:

3 x 2 - 3 ,   3 y 2 - 3 = 0,0

Da primeira coordenada:

3 x 2 = 3

x 2 = 1

x = ± 1

Da segunda coordenada:

3 y 2 - 3 = 0

y = ± 1

Entaõ, temos os pontos críticos:

P 1 = 1,1 ,   P 2 = 1 , - 1 ,   P 3 = - 1,1 ,   P 4 = - 1 , - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar o teste da segunda derivada para classifica-los:

f x x = 6 x

f x y = 0

f y x = 0

f y y = 6 y

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Começando por P 1 = 1,1

det H = 36 > 0

f x x > 0

Ponto P 1 é de mínimo local

Usando P 2 = 1 , - 1

det H = - 36 < 0

Ponto P 2 é de sela

Usando P 3 = - 1,1

det H = - 36 < 0

Ponto P 3 é de sela

Usando P 4 = - 1 , - 1

det H = 36 > 0

f x x < 0

Ponto P 4 de máximo local.

Resposta

  1. Ponto P 1 = 1,1 é de mínimo local, Ponto P 2 = 1 , - 1 é de sela, Ponto P 3 = - 1,1 é de sela, Ponto P 4 = - 1 , - 1 de máximo local.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas