Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Máximos e Mínimos, Multiplicadores de LaGrange

Seja f x , y = 3 y e x - e 3 x - y 3 .

a) Encontre os pontos críticos de f e classifique-os.

b) Existe x 0 , y 0 ∈ R 2 que seja ponto de máximo ou de mínimo de f em R 2 ? Justifique!

Passo 1

a) A missão é bem direta: encontrar os pontos críticos! Para isso, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais e igualá-las a 0 .

Derivando f em relação a x , teremos:

f x x , y = 3 y e x - 3 e 3 x

Derivando em relação a y , teremos:

f y x , y = 3 e x - 3 y 2

Show? Só tratar as variáveis que não estamos derivando como constantes ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Prosseguindo, agora temos que resolver o sistema que diz que as duas derivadas parciais devem ser 0 ! Fica, então:

3 y e x - 3 e 3 x = 0 3 e x - 3 y 2 = 0

Pela segunda equação, teremos:

3 e x = 3 y 2

e x = y 2

Jogando esse resultado na primeira equação, teremos:

3 y . y 2 - 3 y 3.2 = 0

3 y 3 - 3 y 6 = 0

Beleza, agora, podemos colocar o y 3 em evidência!

3 y 3 1 - y 3 = 0

Dessa equação, vemos que, ou y = 0 , ou y = 1 , para que toda a equação se zere!

Passo 3

Agora que temos os valores possíveis de y , vamos ver os valores para x ? Por exemplo, se jogarmos y = 0 na segunda equação, teremos:

3 e x - 3.0 2 = 0

e x = 0

Mas, para qualquer x que coloquemos, não há como e x dar 0 ! Logo, y = 0 não é uma opção ;)

Passo 4

Vamos tentar agora y = 1 ? Se fizermos isso, teremos, na segunda equação,

3 e x - 3.1 2 = 0

e x = 1

x = 0

E, assim, vemos que o único ponto crítico ocorre quando x = 0 e y = 1 , no ponto 0,1 !

Passo 5

Show, agora que temos esse ponto crítico nosso dever é classificá-lo, certo? Para fazer isso, temos que ter a matriz hessiana, que é a matriz das segundas derivadas da função.

Partiu calcular as segundas derivadas?

Derivando f x novamente em relação a x , teremos:

f x x , y = 3 y e x - 3 e 3 x

f x x x , y = 3 y e x - 9 e 3 x

Derivando f y novamente em relação a y , teremos:

f y x , y = 3 e x - 3 y 2

f y y x , y = - 6 y

Por fim, derivando f x em relação a y para encontrar a derivada mista, temos:

f x x , y = 3 y e x - 3 e 3 x

f x y = 3 e x

Passo 6

Agora que temos as derivadas, podemos montar a matriz hessiana! Ela é:

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f x y P 0 f y y P 0

Colocando as derivadas,

H P 0 = 3 y e x - 9 e 3 x 3 e x 3 e x - 6 y

Colocando P 0 = 0,1 , o ponto crítico calculado, teremos:

H 0,1 = 3.1 e 0 - 9 e 0 3 e 0 3 e 0 - 6.1

H 0,1 = - 6 3 3 - 6 > 0

Show! O resultado do determinante deu positivo, logo, 0,1 é um ponto de máximo ou mínimo. Como a segunda derivada em relação a x é - 6 , portanto, negativa, então trata-se de um ponto de máximo!

Passo 7

b) Vamos lá... pelo nosso feeling de aluno quando a questão pergunta “se existe” máximo ou mínimo global, você já saca que provavelmente não tem né XD Mas, como provar isso?

A maneira mais simples é ver se existem limites que vão pra infinito. A função é:

f x , y = 3 y e x - e 3 x - y 3

E, como vimos, se colocarmos x = 0 esse e x fica igual a 1 , o que já reduz a expressão a:

f 0 , y = 3 y - 1 - y 3

Como y e y 3 estão com expoentes ímpares, temos que o limite quando y → ± ∞ é:

l i m y → ± ∞   3 y - 1 - y 3 = ± ∞

Portanto, não há pontos de máximo ou mínimo globais, pois os limites vão pra infinito!

Resposta

a) 0,1 é ponto de máximo

b) Não há pontos de máximo ou mínimo globais, pois existem valores de f que vão para o infinito!

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