Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2018.1, Questão E4

Seja

f x , y = x 2 - 2 b x y + y 2

Para que f possua um ponto de sela, b deve satisfazer:

a b 1

b b > 1

c b 2 > 1

d b < - 1

e N e n h u m

Passo 1

Hummm, essa questão aí fala de ponto de sela... Isso ta me cheirando a classificação de ponto crítico!

Vamos usar o teste da derivada segunda então!

Para isso, vamos começar calculando o vetor gradiente da nossa função:

f x , y = x 2 - 2 b x y + y 2

f x , y = ( 2 x - 2 b y , 2 y - 2 b x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas segundas:

f x x = 2

f y y = 2

f x y = f y x = - 2 b

Como nossas derivadas segundas são valores constantes, não precisamos mesmo nos preocupar com o ponto crítico.

Passo 3

Aplicando o teste da derivada segunda:

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

H P 0 = 2 - 2 b - 2 b 2 = 2.2 - - 2 b . ( - 2 b )

H P 0 = 4 - 4 b 2

Agora, para que a função possua ponto de sela, precisamos que esse determinante seja menor do que zero, assim:

4 - 4 b 2 < 0

4 b 2 > 4

b 2 > 1

Resposta

Letra c

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