Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Encontre os pontos e os valores mínimos e máximos locais e os pontos de sela (se houver) da função

f x , y = 3 x 2 y + y 3 - 3 x 2 - 3 y 2 + 2 .

Esboce o gráfico da função em torno dos pontos encontrados acima.

Observação: não é preciso esboçar o gráfico de toda função; apenas mostre como é o gráfico perto dos pontos de mínimo local, máximo local ou pontos de sela determinados.

Passo 1

O que o enunciado está pedindo é para gente classificar os pontos críticos dessa função. Para ser ponto crítico, precisa zerar as derivadas ao mesmo tempo:

f x ( P 0 ) = 0 ,   f y ( P 0 ) = 0  

Vamos encontrar para que pontos isso acontece. Calculando as derivadas:

f x , y = 3 x 2 y + y 3 - 3 x 2 - 3 y 2 + 2

f x = 6 x y - 6 x ,     f y = 3 x 2 + 3 y 2 - 6 y  

Descobrindo onde elas zeram ao mesmo tempo:

f x = 6 x y - 6 x = 0

f y = 3 x 2 + 3 y 2 - 6 y = 0

Aí a gente fica com esse sisteminha para resolver:

6 x y - 6 x = 0 3 x 2 + 3 y 2 - 6 y = 0

Passo 2

Da primeira equação, a gente pode escrever

6 x y - 6 x = 0 ∴ 6 x y - 1 = 0

Daí a gente tem que x = 0 ou y = 1 . Vamos olhar cada caso

- x = 0

Substituindo na segunda equação

3 x 2 + 3 y 2 - 6 y = 0 ∴ 3 y 2 - 6 y = 0 ∴ y 3 y - 6 = 0

y = 0 ,     y = 2

Daí a gente tem dois pontos: P 1 = 0,0 ,   P 2 = 0,2

- y = 1

Substituindo na segunda equação

3 x 2 + 3 y 2 - 6 y = 0 ∴ 3 x 2 + 3 - 6 = 0 ∴ 3 x 2 = 3

x = 1 ,     x = - 1

Daí a gente tem dois novos pontos: P 3 = 1,1 ,   P 4 = - 1,1

Aí achamos quadro pontos críticos: P 1 = 0,0 ,   P 2 = 0,2 , P 3 = 1,1 ,   P 4 = - 1,1 .

Passo 3

Para classificar esses pontos, a gente precisa calcular o determinante 𝐻(𝑃0):

H ( P 0 ) = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Se ele for positivo, nosso ponto é de máximo ou de mínimo. Aí se for de mínimo f x x ( P 0 ) > 0 e se for de máximo f x x ( P 0 ) < 0 . Maaas se for negativo, nosso ponto é ponto de sela. (Se for H ( P 0 ) = 0 não se sabe).

Vamos calcular então essas derivadas de segunda ordem:

f x = 6 x y - 6 x ,     f y = 3 x 2 + 3 y 2 - 6 y  

f x x = 6 y - 6 ,     f y y = 6 y - 6 ,     f x y = f y x = 6 x

H ( P 0 ) = 6 y - 6 6 x 6 x 6 y - 6

Passo 4

Agora é calcular esse determinante para os nossos pontinhos! Vamos calcular H ( 0,0 ) :

H 0,0 = f x x 0,0 f x y 0,0 f y x 0,0 f y y 0,0 = - 6 0 0 - 6 = 36 - 0 = 36

Como H > 0 , e f x x < 0 esse é um ponto de máximo.

Vamos calcular H ( 0 , 2 ) :

H 0,0 = f x x 0 , 2 f x y 0,2 f y x 0 , 2 f y y 0,2 = 6 0 0 6 = 36 - 0 = 36

Como H > 0 , esse é um ponto de máximo ou mínimo. E como f x x > 0 , sabemos que esse ponto é de mínimo.

Vamos calcular H ( 1,1 ) :

H 1,1 = f x x 1,1 f x y 1,1 f y x 1,1 f y y 1,1 = 0 6 6 0 = 0 - 36 = - 36

Como H < 0 , esse é um ponto de sela.

Vamos calcular H ( - 1,1 ) :

H - 1,1 = f x x - 1,1 f x y - 1,1 f y x - 1,1 f y y - 1,1 = 0 - 6 - 6 0 = 0 - 36 = - 36

Como H < 0 , esse é um ponto de sela também.

Passo 5

Vamos agora descobrir o valor da função nesses pontos e esboçar o gráfico da função pertinho deles.

f x , y = 3 x 2 y + y 3 - 3 x 2 - 3 y 2 + 2

- P = 0,0 , ponto de máximo. Ao redor dele, a função parece um paraboloide elíptico virado para baixo.

E vale

f 0,0 = 0 + 0 - 0 - 0 + 2 = 2

- P = 0 , 2 , ponto de mínimo. Ao redor dele, a função parece um paraboloide elíptico virado para cima.

E vale

f 0 , 2 = 0 + 2 3 - 0 - 3 ⋅ 2 2 + 2 = - 2

- P = 1 , 1 , ponto de sela. Ao redor dele, a função parece uma sela de cavalo como o nome já diz haha.

E vale

f 1,1 = 3 + 1 - 3 - 3 + 2 = 0

- P = - 1 , 1 , ponto de sela também. Vai ter a mesma carinha do ponto anterior. E vale

f - 1,1 = 3 + 1 - 3 - 3 + 2 = 0

Ufa! Acabamos!

Resposta

P = 0,0 , ponto de máximo. Ao redor dele, a função parece um paraboloide elíptico virado para baixo e nele ela vale 2 .

P = 0,2 , ponto de mínimo. Ao redor dele, a função parece um paraboloide elíptico virado para cima e nele ela vale - 2 .

P = ± 1,1 , pontos de sela. Ao redor deles, a função parece uma sela de cavalo como o nome já diz. E neles, ela vale 0 .

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