1 - Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo relacionadas:

c) f x , y = 2 x 3 - 3 x 2 + y 2 - 12 x + 10 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Partiu definir os pontos críticos da função f x , y = 2 x 3 - 3 x 2 + y 2 - 12 x + 10 ??

Bem... foi dada essa função e além de determinar seus pontos críticos, devemos classifica-los como máximos locais ou globais ou mínimos locais ou globais.

Ok, mas sabe como podemos começar?? 🤔

Existe uma técnica que usamos para encontrar os pontos críticos. Esta técnica consiste em encontrar o vetor gradiente de f e iguala-lo a um vetor nulo, por exemplo

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 0,0

Com isso, vamos obter um sistema e vamos determinar valores para x e y , os quais serão as coordenadas dos nossos pontos críticos.

Com essa explicação, podemos concluir que os pontos críticos, são os pontos onde a tangente possui coeficiente angular igual a 0 , ou seja, onde a derivada é 0 .

Bora lá!

Passo 2

Primeiro a gente calcula o gradiente de f .

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Calculando a derivada parcial de f com relação a x , temos

∂ f ∂ x = ∂ 2 x 3 - 3 x 2 + y 2 - 12 x + 10 ∂ x

Por derivada de polinômios, derrubamos o expoente e subtraímos 1 da potência. Lembrando que como estamos derivando com relação a x , y se comporta como uma constante.

∂ f ∂ x = 3 · 2 x 3 - 1 - 2 · 3 x 2 - 1 - 12 x 1 - 1

∂ f ∂ x = 6 x 2 - 6 x - 12

Agora calculamos a derivada parcial de f com relação a y

∂ f ∂ y = ∂ 2 x 3 - 3 x 2 + y 2 - 12 x + 10 ∂ y

Novamente por derivada de polinômios, sendo que dessa vez x se comporta como uma constante.

∂ f ∂ y = 2 · y 2 - 1

∂ f ∂ y = 2 y

Calculamos as derivadas parciais de f , vamos continuar nosso probleminha.

Passo 3

Agora devemos montar nosso gradiente e igualar a um vetor nulo

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 0,0

6 x 2 - 6 x - 12,2 y = 0,0

Escrevendo isso na forma de sistema, temos

6 x 2 - 6 x - 12 = 0 2 y = 0

A partir desse sistema, podemos definir os valores de x calculando as raízes da primeira equação e vemos que

y = 0

Vamos calcular x

x = - - 6 ± - 6 2 - 4 · 6 · - 12 2 · 6

x = 6 ± 324 12

x = 6 ± 18 12

Com isso, encontramos os valores de x

x 1 = 2 x 2 = - 1

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Encontramos os valores de x e y , então os pontos, serão as combinações das coordenadas em x e em y , veja só

P 1 = 2,0 P 2 = - 1,0

Com os pontos em mãos, falta classifica-los como máximos ou mínimos

Pra isso, vamos calcular f x x P , f x y P , f y x P e f y y P . Com esses valores calculamos o determinante da matriz

D = f x x P f x y P f y x P f y y P

Ou simplesmente

D = f x x P · f y y P - f y x P · f x y P

Se encontrarmos D > 0 e f x x P > 0 , o ponto é classificado como de mínimo

Já se encontrarmos D > 0 e f x x P < 0 , o ponto é classificado como ponto de máximo

E se D < 0 , o ponto é classificado como ponto sela ou ponto de inflexão.

Bora calcular as derivadas parciais de segunda ordem.

f x x = ∂ 6 x 2 - 6 x - 12 ∂ x f x y = ∂ 6 x 2 - 6 x - 12 ∂ y f y x = ∂ 2 y ∂ x f y y = ∂ 2 y ∂ y

Por derivada de polinômios, temos

f x x = 12 x - 6 f x y = 0 f y x = 0 f y y = 2

Bacana, não é?

Passo 5

Agora substituímos as coordenadas dos pontos nas derivadas parciais e calculamos D !

Para o ponto P 1 = 2,0 , substituindo esse ponto nas derivadas de segunda ordem, temos

f x x 2,0 = 12 2 - 6 f x y 2,0 = 0 f y x 2,0 = 0 f y y 2,0 = 2 → f x x 2,0 = 18 f x y 2,0 = 0 f y x 2,0 = 0 f y y 2,0 = 2

Calculando D , temos

D = 18 · 2 - 0 · 0

D = 36

Analisando os resultados, vemos que D > 0 e f x x 2,0 > 0 , então o ponto P 1 = 2,0 é classificado como um ponto de mínimo e como a função é um polinômio de grau 3, ele assume valores + ∞ e - ∞ em sua imagem, logo, o ponto P 1 = 2,0 é um mínimo local!

Analisando o ponto P 2 = - 1,0 , vamos substituir suas coordenadas na matriz D para ver o que acontece.

f x x - 1 , 0 = 12 - 1 - 6 f x y - 1,0 = 0 f y x - 1,0 = 0 f y y - 1,0 = 2 → f x x - 1,0 = - 18 f x y - 1,0 = 0 f y x - 1,0 = 0 f y y - 1,0 = 2

Com isso D será

D = - 18 · 2 - 0 · 0

D = - 36

Como vimos antes, se D < 0 o ponto P 2 = - 1,0 é um ponto sela!

Resumindo, P 1 = 2,0 é um mínimo local e P 2 = - 1,0 é um ponto sela!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

P 1 = 2,0 é um mínimo local!

P 2 = - 1,0 é um ponto sela!

Exercícios de Livros Relacionados

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 3 - 3 x 2 y + 27 y
Utilize um gráfico e/ou curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para achar esses valores precisamente. f x , y = x y e -