Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Derivadas parciais e o vetor gradiente, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange

Seja f x , y = x y - x y 2 - x 2 y definida no quadrado aberto Q dado por 0 < x < 1 e 0 < y < 1 .

a) Calcule os pontos críticos de f em Q

b) Classifique os pontos críticos de f em Q

c) Determine um aberto A ⊂ Q na forma A = x , y ∈ Q         g x , y > 0 explicitando g x , y e satisfazendo as seguintes propriedades:

  • 1 3 , 1 3 ∈ A
  • A hessiana de f em x , y ∈ A seja estritamente negativa definida.

d) Seja K = x , y ∈ R 2         0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 . Calcule o valor máximo e mínimo de f restrita à K .

Passo 1

a) Aqui queremos simplesmente encontrar os pontos críticos da função, e a única restrição é que eles estejam dentro do quadrado 0 < x < 1 e 0 < y < 1 ;) Não precisamos de LaGrange, nesse caso, pois é só vermos todos os pontos críticos e separar os que estiverem dentro do quadrado!

Partiu! Sem mais enrolação, pra pegar esses pontos, só temos que igualar o vetor gradiente ao vetor 0,0 , ou seja, igualar cada derivada parcial a 0 ! Para a função

f x , y = x y - x y 2 - x 2 y

temos

f x = y - y 2 - 2 x y

f y = x - 2 x y - x 2

E o vetor gradiente é:

∇ f x , y = y - y 2 - 2 x y , x - 2 x y - x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Igualando o vetor gradiente que acabamos de encontrar a 0,0 , temos:

y - y 2 - 2 x y = 0 x - 2 x y - x 2 = 0

Agora, só precisamos resolver esse sistema! De cara, uma solução possível é colocar y = 0 para a primeira equação e x = 0 para a segunda! Mas, infelizmente o ponto 0,0 não está dentro do quadrado (pois, pela definição do quadrado, x > 0 e y > 0 !) então, para nós, ele não serve :/

Nos resta tentar manipular essas equações para ver outras possíveis soluções. Como não vamos colocar um valor fixo para y na primeira, podemos dividir todos os termos por y , então, teremos:

y y - y 2 y - 2 x y y = 0 y

que fica

1 - y - 2 x = 0

Fazendo o mesmo processo para a segunda equação, agora, dividindo por x , teremos:

1 - 2 y - x = 0

Show? Isso vai nos ajudar muito, por que temos duas equações, com duas incógnitas, e não temos mais nada ao quadrado!

Passo 3

Para resolver o sistema

1 - y - 2 x = 0 1 - 2 y - x = 0

Podemos multiplicar a segunda equação por - 2

- 2 + 4 y + 2 x = 0

E somar isso na primeira

1 - 2 - y + 4 y - 2 x + 2 x = 0

- 1 + 3 y = 0

y = 1 3

Show! Acabamos de encontrar um valor para y que está dentro dos limites verticais do quadrado! Vamos ver se o x também está? Só colocar esse valor encontrado para y em qualquer uma das equações. Colocando na primeira, teremos:

1 - 1 3 - 2 x = 0

x = 1 3

E pronto! Temos o ponto 1 3 , 1 3 , que está dentro do quadrado! Como tínhamos que resolver apenas uma equação de primeiro grau, esse é o único ponto crítico :D

Passo 4

b) Vamos classificar nosso ponto? Para isso, precisamos do determinante da matriz Hessiana:

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y

Para resolver esse determinante, precisamos das segundas derivadas no ponto que encontramos, certo? Partiu encontrá-las! Se tínhamos:

f x = y - y 2 - 2 x y

f y = x - 2 x y - x 2

Então,

f x x = - 2 y

f y y = - 2 x

f x y = f y x = 1 - 2 y - 2 x

Colocando o ponto 1 3 , 1 3 nessas derivadas, temos:

f x x 1 3 , 1 3 = - 2 3

f y y 1 3 , 1 3 = - 2 3

f x y 1 3 , 1 3 = 1 - 2 3 - 2 3 = - 1 3

Passo 5

Colocando os valores das derivadas na matriz, teremos:

H 1 3 , 1 3 = - 2 3 - 1 3 - 1 3 - 2 3 = 4 9 - 1 9 = 1 3 > 0

E aí está! Como temos que o determinante deu mais que 0 , então podemos ter um máximo ou um mínimo. Como a segunda derivada em relação a x para o ponto em questão é menor que 0 , - 2 3 , então temos um ponto de máximo!

P = 1 3 , 1 3 é ponto de máximo, e vale:

f 1 3 , 1 3 = 1 3 . 1 3 - 1 3 . 1 3 2 - 1 3 2 . 1 3 = 1 27

Passo 6

c) Vamos lá, essa é só ter calma pra ler o enunciado. O que temos que fazer é descobrir o conjunto de pontos que está contido no quadrado cujo teste da Hessiana dê sempre negativo. Isso ocorre quando só temos a opção de encontrar pontos de máximo.

Agora é só pensar: o que precisamos para ter um ponto de máximo? Temos que, antes de mais nada, ter o determinante da Hessiana maior que 0 , certo? Depois disso, vemos se a segunda derivada em relação a x é menor que 0 .

Vamos separar essas duas condições para ficar mais fácil de visualizar:

  • Determinante da Hessiana deve ser maior que 0 .
  • Segunda derivada em relação a x deve ser menor que 0 .

Olhando para a primeira condição, teremos:

H x , y = - 2 y 1 - 2 y - 2 x 1 - 2 y - 2 x - 2 x > 0

Ou seja, resolvendo o determinante,

4 x y - 1 - 2 y - 2 x 2 > 0

Show?

Passo 7

Agora, devemos ver a segunda condição. Ela nos diz que a segunda derivada em relação a x deve ser menor que 0 . Logo,

- 2 y < 0

Dividindo os dois lados por - 2 ,

y > 0

Lembrando que quando multiplicamos ou dividimos desigualdades por números negativos, invertemos a boca dela ;)

Como para 4 x y - 1 - 2 y - 2 x 2 ser maior que 0 , y deve ser maior que 0 também (por causa do 4 x y ), então basta que essa expressão seja o g x , y que a questão pede! Se você não percebesse isso, provavelmente não haveria tanto problema colocar essas duas restrições ;) Nosso subconjunto A , fica então:

A = x , y ∈ Q         4 x y - 1 - 2 y - 2 x 2 > 0

Ou seja, o conjunto dos pontos x , y tais que tornam o determinante da Hessiana maior que 0 , e a segunda derivada em relação a x menor que 0 !

Passo 8

d) Agora chegou a hora de ver os pontos de máximo e mínimo sobre a borda do quadrado! Sim, pois esse conjunto que nos deram é exatamente a definição do nosso quadrado, mas englobando também seu contorno! Como para o seu interior já sabemos que o ponto de máximo é 1 3 , 1 3 , resta ver se temos algum ponto ainda maior na borda, e verificar qual é o mínimo, também da borda ;)

Ok, e como faremos isso? Basta percorrer cada segmento com a função! Por exemplo, para o segmento x , 1 ,   x ∈ 0,1 , temos y constantemente em 1 , e x variando entre 0 e 1 !

Viu? É a borda superior do quadrado! E como a função f se comporta nesse segmento?

f x , 1 = x . 1 - x . 1 2 - x 2 . 1 = - x 2

Percebe que, como temos x variando entre 0 e 1 , o maior valor que a função assume é quando colocamos x = 0 , que temos f 0,0 = 0 ? E o menor valor ocorre quando temos x = 1 , que é f 1,1 = - 1

Passo 9

Agora que você pegou a ideia da coisa, vamos percorrer os outros segmentos vendo os valores que a função f x , y assume, para os determinados x , y que colocamos?

Se mantivermos x = 1 constante, e percorrermos y entre 0 e 1 , teremos a outra borda do quadrado:

Beleza? E, para a função f x , y , teremos:

f 1 , y = 1 . y - 1 . y 2 - 1 . 2 y = - y 2

Ou seja, para f 1 , y = - y 2 , o maior valor assumido é quando y = 0 , tendo f 1,0 = 0 . Enquanto isso, o menor valor assumido é quando temos y = 1 , para f 1,1 = - 1 !

Agora, para os outros lados, que estão sobre o eixo x e sobre o eixo y , que fecham o quadrado, temos:

f 0,1 = f 1,0 = 0

Pois, em todos os termos de f aparece x e y ao menos uma vez!

Com isso, fechamos todos os valores dentro do quadrado e na sua borda! Lembrando daquele ponto crítico 1 3 , 1 3 , vimos que f 1 3 , 1 3 = 1 27 , que ainda é maior do que qualquer valor sobre a borda do quadrado. Assim, 1 27 é o máximo sobre K , enquanto - 1 é o mínimo.

Resposta

a) O ponto crítico é 1 3 , 1 3

b) P = 1 3 , 1 3 é ponto de máximo

c) A = x , y ∈ Q         4 x y - 1 - 2 y - 2 x 2 > 0

d) Maior valor de f sobre K é 1 27 , e o menor é - 1

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