Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Seja f : R 2 → R uma função com derivadas de segunda ordem contínuas tal que f x 1,1 = f y 1,1 = 0 , f x x 1,1 = 2 e f y y 1,1 = 4 . Para qual das afirmativas abaixo, o ponto 1,1 será um ponto de sela de f ?

  1. 1 ≤ f x y 1,1 ≤ 8
  2. 0 < f x y 1,1 < 1
  3. f x y 1,1 = 0
  4. f x y 1,1 > 8
  5. Não sei

Passo 1

Perceba que f x 1,1 = f y 1,1 = 0 . Logo o ponto 1,1 é um ponto crítico da função f .

Passo 2

Então vamos a classificação desse ponto crítico.

Montando a matriz Hessiana, temos:

H 1,1 = f x x 1,1 f x y 1,1 f y x 1,1 f y y 1,1 = f x x 1,1 . f y y 1,1 - f x y 1,1 f y x 1,1  

Como o enunciado diz que as derivadas de segunda ordem são contínuas, pelo Teorema de Clairaut f x y 1,1 = f y x 1,1 . Então temos:

H 1,1 = f x x 1,1 . f y y 1,1 - f x y 2 1,1

Passo 3

Para ser ponto de sela, é necessário que:

H 1,1 < 0

Substituindo:

f x x 1,1 . f y y 1,1 - f x y 2 1,1 < 0

( 2 ) . 4 - f x y 2 1,1 < 0

f x y 1,1 > 8

Resposta

d) f x y 1,1 > 8

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