Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Funções de Várias Variáveis, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Máximos e Mínimos

Classifique os pontos críticos da função

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y 3

Passo 1

Se vir uma questão que nem essa na prova, comece por ela! Não tem processo mais “trabalho de macaco” que esse... Deriva, iguala a zero e veja o resultado do determinante das segundas derivadas dá maior, menor ou igual a 0 ! Dificilmente você vai encontrar algum problema em questões desse tipo ;)

Então partiu derivar essa função!

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y 3

Derivando em relação a x , teremos:

f x x , y = 3 x 2 - 12 y

Derivando em relação a y , teremos:

f y x , y = - 12 x + 24 y 2

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Passo 2

Só pra matar logo essas parte de derivadas, vamos encontrar as segundas também?

Derivando a f x x , y em relação a x de novo, teremos:

f x x x , y = 6 x

Derivando a f y x , y em relação a y de novo, teremos:

f y y x , y = 48 y

Pegando qualquer uma, f x x , y ou f y x , y , e derivando em relação a outra variável, teremos:

f y x x , y = f x y x , y = - 12

Passo 3

Ok, agora temos que pegar as primeira derivadas e igualar a 0 , certo? E depois pegaremos os pontos que encontrarmos e jogaremos no determinante das segundas derivadas.

Pegando f x x , y e igualando a 0 , teremos:

3 x 2 - 12 y = 0

x 2 = 4 y

Pegando f y x , y e igualando a 0 , teremos:

- 12 x + 24 y 2 = 0

2 y 2 = x

Aí agora é só resolver o sisteminha formado por essas duas equações:

x 2 = 4 y 2 y 2 = x

Passo 4

Se pegarmos a relação da segunda equação, que diz que x = 2 y 2 e jogarmos na primeira, teremos:

2 y 2 2 = 4 y

4 y 4 = 4 y

y 4 = y

Logo, ou y = 0 , ou y = 1 , pois apenas 1 4 = 1 e 0 4 = 0 ! Fica ligado(a) nisso, por que se tivéssemos cortado y 4 com y , ficando y 3 = 1 , encontraríamos apenas y = 1 como resposta –o que não é verdade, bastando substituir y = 0   na equação lá de cima!

Passo 5

Jogando esses valores encontrado para y em qualquer uma das equações, encontramos os possíveis valores de x :

Se y = 0 ,

x 2 = 4 y = 4.0

x = 0

Se y = 1 ,

x 2 = 4 . y = 4.1

x = 2

Aí você chega e fala, mas Patusco, não é mais ou menos 2 ? Pois é, algebricamente falando, realmente seria ± 2 , mas a parada é que o x deve valer tanto para a equação x 2 = 4 y , quanto para 2 y 2 = x . De fato, na primeira, - 2 seria uma opção para o x , mas, na segunda, se colocarmos que 2 y 2 = n u m e r o   n e g a t i v o , estaríamos cometendo um erro besta XD

Passo 6

Agora é só classificar os pontos!

Temos, quando y = 0 ,   x = 0 e quando y = 1 ,   x = 2 , então nossos pontos são 0,0 e 2,1 .

Lembrando do determiante da Hessiana,

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

E lembrando os valores encontrados para as segundas derivadas parciais, f x x x , y = 6 x , f y y x , y = 48 y , f x y x , y = f y x x , y = - 12 .

Então, para o ponto 0,0 , teremos f x x x , y = 6.0 = 0 , f y y x , y = 48.0 = 0 , e o seguinte determinante:

H 0,0 = 0 - 12 - 12 0 = - 144 < 0

Logo, o ponto 0,0 é um ponto de sela.

Para o ponto 2,1 , temos f x x x , y = 6.2 = 12 ,   f y y x , y = 48.1 = 48 , e o seguinte determinante:

H 2,1 = 12 - 12 - 12 48 = 432 > 0

Opa! Esse deu maior do que zero! Como para o ponto 2,1 o valor de f x x x , y é maior do que zero, temos um ponto de mínimo!

Resposta

Temos os seguinte pontos críticos: 0,0 →   ponto de sela ; 2,1 →   ponto de mínimo local.

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