Determine e classifique os pontos críticos da função

f x , y = e x 2 cos ⁡ y

Passo 1

Então pessoal, vamos direto ao ponto: como a gente pode encontrar os pontos críticos de uma função de duas variáveis?

Tem duas possibilidades para um ponto ser crítico: ou as duas derivadas parciais são iguais a zero nesse ponto, ou pelo menos uma delas não existe!

Então tá, vamos tirar as derivadas parciais da nossa função f x , y .

Passo 2

Começando pela derivada parcial em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x e x 2 cos ⁡ y

Quando a gente tira a derivada em relação a x , tudo o que depende só de y é tratado como constante, então:

∂ ∂ x e x 2 cos ⁡ y = cos ⁡ y ∂ ∂ x e x 2

E agora temos que usar a regra da cadeia pra resolver a derivada dessa exponencial:

∂ ∂ x e x 2 = ∂ e x 2 ∂ x 2 ∂ x 2 x = 2 x e x 2

Então:

∂ f ∂ x = 2 x cos ⁡ y e x 2

Passo 3

E agora falta a derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y e x 2 cos ⁡ y

Dessa vez a exponencial vai ser tratada como constante, porque só depende de x :

∂ f ∂ y = e x 2 ∂ ∂ y cos ⁡ y

E a derivada do cosseno é o negativo do seno, então:

∂ f ∂ y = - e x 2 sen ⁡ y

Beleza, agora já temos as duas derivadas parciais:

∂ f ∂ x = 2 x cos ⁡ y e x 2 ∂ f ∂ y = - e x 2 sen ⁡ y

Passo 4

O que a gente está procurando são os pontos em que essas duas derivadas se anulam! Então basicamente a ideia é resolver esse sistema aqui:

2 x cos ⁡ y e x 2 = 0 - e x 2 sen ⁡ y = 0

Podemos dividir as duas expressões por e x 2 dos dois lados, porque essa função é sempre diferente de zero:

2 x cos ⁡ y = 0 - sen ⁡ y = 0

E agora o sistema fica bem mais fácil de resolver. Vamos começar pela equação de baixo.

- sen ⁡ y = 0    

Essa equação tem infinitas soluções: y = 0 , π , 2 π , 3 π , e assim por diante, então:

y = k π           k = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Agora vamos ver a equação de cima:

2 x cos ⁡ y = 0

A primeira parte da solução inclui todos os pontos em que o cosseno se anula:

y = 2 k + 1 π 2           k = 0 ,   1 ,   2 ,   …

E a outra é a solução é a mais simples:

x = 0

Passo 5

Beleza, mas para um ponto ser crítico, as duas expressões precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo!

Então temos que procurar quais valores satisfazem as duas equações:

∂ f ∂ x = 0           s e           x = 0   o u   y = 2 k + 1 π 2  

∂ f ∂ y = 0           s e           y = k π

Então a única forma de satisfazer as duas ao mesmo tempo é:

x = 0 y = k π

Outra forma de escrever isso é dizer que o conjunto de pontos críticos é:

x , y ∈ R 2     x = 0   e   y = k π }

Onde k é um número inteiro maior ou igual a zero ( k ∈ Z ,   k ≥ 0 } .

Passo 6

Mas ainda falta classificar os pontos críticos, pra isso a gente precisa calcular essa matriz aqui:

D = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ y ∂ x ∂ 2 f ∂ y 2

Essa é a matriz Hessiana, que vai nos ajudar a classificar os pontos. Mas vamos completar a matriz antes de discutir isso melhor.

Uma propriedade importante das derivadas parciais de funções contínuas, é essa aqui:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Então a gente pode preencher as duas derivadas que faltam calculando uma vez só. Por exemplo:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ f ∂ y   2 x cos ⁡ y e x 2

Nesse caso, todos os termos são constantes, menos o cosseno. Então:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 2 x sen ⁡ y e x 2

Agora é só substituir na matriz:

D = ∂ 2 f ∂ x 2 - 2 x sen ⁡ y e x 2 - 2 x sen ⁡ y e x 2 ∂ 2 f ∂ y 2

Passo 7

E agora vamos calcular as outras duas derivadas segundas:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x 2 x cos ⁡ y e x 2

Aqui a gente precisa usar a regra do produto. Mas antes vamos tirar a constante:

∂ ∂ x 2 x cos ⁡ y e x 2 = cos ⁡ y ∂ ∂ x 2 x e x 2

Agora sim:

∂ 2 f ∂ x 2 = cos ⁡ y ∂ ∂ x 2 x e x 2 = cos ⁡ y e x 2 ∂ ∂ x 2 x + 2 x ∂ ∂ x e x 2

∂ 2 f ∂ x 2 = cos ⁡ y 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2

E a derivada segunda em relação a y é:

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y - e x 2 sen ⁡ y

∂ 2 f ∂ y 2 = - e x 2 cos ⁡ y

Beleza, vamos jogar tudo isso na matriz Hessiana:

D = cos ⁡ y 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 - 2 x sen ⁡ y e x 2 - 2 x sen ⁡ y e x 2 - e x 2 cos ⁡ y

Passo 8

Tá, mas porque a gente fez todo esse esforço pra encontrar essa matriz? Simples, ela vai nos ajudar a classificar os pontos críticos.

No nosso caso, os pontos críticos acontecem nesses casos aqui:

x = 0 y = k π

Substituindo isso na matriz:

D = cos ⁡ y 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 - 2 x sen ⁡ y e x 2 - 2 x sen ⁡ y e x 2 - e x 2 cos ⁡ y

D = cos ⁡ k π 2 e 0 2 + 4 0 2 e 0 2 - 2 0 sen ⁡ k π e 0 2 - 2 0 sen ⁡ k π e 0 2 - e 0 2 cos ⁡ k π

Sempre que o argumento do seno é k π , ele vai se anular:

D = cos ⁡ k π 2 0 0 - cos ⁡ k π

Ok, agora sim. Vamos tirar o determinante da matriz:

det ⁡ D = 2 cos ⁡ k π - cos ⁡ k π - 0 0

det ⁡ D = - 2 cos 2 ⁡ k π

Como cos ⁡ k π = ± 1 :

det ⁡ D = - 2 ± 1 2 = - 2

Passo 9

E o que esse resultado significa? Bom, vamos lembrar da regra pra classificar o ponto crítico a partir do Hessiano:

det ⁡ D > 0   e   ∂ 2 f ∂ x ∂ y < 0         ⇒ M í n i m o   L o c a l det ⁡ D > 0   e   ∂ 2 f ∂ x ∂ y > 0         ⇒ M á x i m o   L o c a l det ⁡ D < 0         ⇒ P o n t o   d e   S e l a   det ⁡ D = 0         ⇒           N ã o   d á   p r a   a f i r m a r   n a d a !

Lembrando que em todos esses casos estamos avaliando tanto o determinante quanto as derivadas no ponto crítico que queremos classificar.

Então beleza, nosso resultado foi det ⁡ D < 0 , ou seja, nossos pontos críticos são pontos de sela.

Resposta

(a) Os pontos críticos são x , y ∈ R 2     x = 0   e   y = k π } , com k = 1 ,   2 ,   3 ,   …

(b) Os pontos críticos são pontos de sela, pois o determinante da matriz Hessiana é sempre menor que zero nesses pontos.

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