Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Seja

f x , y = e y ( y 2 - x 2 )

Resolva o que se pede:

  1. Determine os pontos críticos de f .
  2. Classifique os pontos críticos de f .

Passo 1

a )

Bora calcular as derivadas parciais para identificar os pontos críticos

f x , y = y 2 - x 2 e y

∂ f ∂ x = - 2 x e y

∂ f ∂ y = 2 y e y + y 2 - x 2 e y = e y ( 2 y + y 2 - x 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas parciais a zero

∂ f ∂ x = - 2 x e y = 0

∂ f ∂ y = e y ( 2 y + y 2 - x 2 ) = 0

Como e y > 0 , então, nosso sistema pode se reduzir a:

- 2 x e y = 0   2 y + y 2 - x 2 = 0

Da primeira equação tiramos que

x = 0

Substituindo isso na segunda equação, temos que

2 y + y 2 - 0 2 = 0

y y + 2 = 0

y = 0

Ou

y = - 2

Então nossos pontos críticos são 0 , 0 e 0 , - 2 .

Passo 3

b )

Para classificar os pontos críticos, vamos usar o teste da derivada segunda.

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x - 2 x e y = - 2 e y

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y e y ( 2 y + y 2 - x 2 ) = 2 + 2 y e y + e y ( 2 y + y 2 - x 2 )

f y y = e y ( 2 + 4 y + y 2 - x 2 )

f x y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y - 2 x e y = - 2 x e y

Passo 4

Calculando H P :

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P

⇒ H P = - 2 e y - 2 x e y - 2 x e y e y ( 2 + 4 y + y 2 - x 2 )

⇒ H P = - 2 e 2 y 2 + 4 y + y 2 - x 2 - 4 x 2 e 2 y

H P = - 2 e 2 y 2 + 4 y + y 2 - x 2 + 2 x 2

H P = - 2 e 2 y 2 + 4 y + y 2 + x 2

Passo 5

Substituindo nos pontos críticos, temos:

Para 0 , 0 :

H 0 , 0 = - 2 e 2 . 0 2 + 4 . 0 + 0 2 + 0 2

H 0 , 0 = - 2 . 1 2

H 0 , 0 = - 4 < 0

Assim, o ponto 0 , 0 é um ponto de sela.

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para 0 , - 2 :

H 0 , - 2 = - 2 e 2 . ( - 2 ) 2 + 4 ( - 2 ) + ( - 2 ) 2 + 0 2

H 0 , - 2 = - 2 e - 4 2 - 8 + 4

H 0 , - 2 = 4 e - 4 > 0

Deu maior do que zero, então vamos precisar olhar o valor de f x x pra saber se é ponto de máximo ou de mínimo:

f x x 0 , - 2 = - 2 e - 2 < 0

Assim, o ponto 0 , - 2 é um ponto de máximo.

Resposta

a )

Os pontos críticos são 0 , 0 e 0 , - 2 .

b )

0 , 0 é um ponto de sela.

0 , - 2 é um ponto de máximo.

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