Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Determine e classifique os pontos críticos da função:

f x , y = x 3 + 2 x y + y 2 - 5 x

Passo 1

Se na sua prova vier uma questão que nem essa, comece por ela! Serio, essas questões que só pedem para verificar ponto crítico, que não tem nem LaGrange metido na historia, normalmente são as mais metódicas, só erra quem não leu a teoria ou errou conta XD

Enfim, só derivar e igualar a 0 ;) Depois joga no determinante da matriz das segundas derivadas e classifica os pontos.

Derivando a equação em relação a x , tratando y como constante, temos:

f x , y = x 3 + 2 x y + y 2 - 5 x

f x x , y = 3 x 2 + 2 y - 5

Agora, derivando em relação a x , tratando o y como constante,

f y x , y = 2 x + 2 y

Passo 2

Agora temos que descobrir os pontos que fazem essas derivadas serem 0 . Então vamos resolver o seguinte sistema:

3 x 2 + 2 y - 5 = 0 2 x + 2 y = 0

Subtraindo a segunda equação da primeira, teremos uma equação do segundo grau para x ,

3 x 2 - 2 x - 5 = 0

Usando resolvendo por Bhaskara,

x = 2 ± - 2 2 - 4.3 . - 5 2.3

x = 2 ± 64 6

x = 1 3 ± 4 3

Então, ou x = 5 3 , ou x = - 1 .

Passo 3

Agora jogamos esses valores de x que encontramos de volta no sistema, para descobrir os valores de y .

Se colocamos x = - 1 na segunda equação, teremos:

2 . - 1 + 2 y = 0

y = 1

Se colocamos x = 5 3 na segunda equação, teremos:

2 . 5 3   + 2 y = 0

y = - 5 3

Logo, nossos pontos são: P 0 = - 1,1 e P 1 = 5 3 ,   - 5 3

Passo 4

Agora chegou a hora de classificar esses dois pontos que encontramos. Para isso, precisamos saber quais são os valores das segundas derivadas f x x ,   f y y , e f x y em cada um deles.

Pegando a f x e derivando em relação a x novamente, teremos:

f x x , y = 3 x 2 + 2 y - 5

f x x x , y = 6 x

Pegando a f y e derivando em relação a y novamente, teremos:

f y x , y = 2 x + 2 y

f y y x , y = 2

Pegando qualquer uma delas, f x ou f y , e derivando em relação a outra variável, teremos:

f x y = f y x = 2

Passo 5

Agora partiu classificar esses pontos! Usando nosso determinante

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P

Para o ponto P 0 = - 1,1 , temos:

H P 0 = 6 . - 1 2 2 2 = - 16 < 0

Como esse determinante deu menos que 0 , então P 0 é um ponto de sela.

Para o ponto P 1 = 5 3 ,   - 5 3 , temos:

H P 1 = 6 . 5 3 2 2 2 = 20 - 4 = 1 6 > 0

Como esse determinante deu mais do que 0 , e, além disso, f x x P 1 é maior que 0 também, temos um ponto de mínimo.

Resposta

  1. P 0 = - 1,1 → ponto de sela
  2. P 1 = 5 3 ,   - 5 3 → ponto de mínimo

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