Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

UFRJ, Cálculo 2, P2 2015.2, questão 4

Seja f x , y = x 3 y + 12 x 2 - 8 y , qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

  1. f possui somente um ponto crítico, e tal ponto crítico é um ponto de mínimo local.
  2. f possui somente um ponto crítico, e tal ponto crítico é um ponto de sela.
  3. f possui somente dois pontos críticos, sendo um de máximo local e outro de sela.
  4. f possui somente um ponto crítico, e tal ponto crítico é um ponto de máximo local.
  5. Não sei

Passo 1

Vamos começar encontrando os pontos críticos de f . Temos:

∇ f x , y = 3 x 2 y + 24 x ,   x 3 - 8

3 x 2 y + 24 x ,   x 3 - 8 = 0,0

Temos:

3 x 2 y + 24 x = 0

x 3 - 8 = 0

Da segunda equação:

x = 2

Substituindo na primeira:

12 y + 48 = 0

y = - 4

Então temos o ponto:

2 , - 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos de classificar esse ponto crítico. Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada. Já temos:

f x = 3 x 2 y + 24 x

f y = x 3 - 8

Calculando as derivadas de ordem superior:

f x x = 6 x y + 24

f x y = 3 x 2

f y x = 3 x 2

f y y = 0

No ponto ( 2 , - 4 ) temos:

f x x = - 24

f x y = 12

f y x = 12

f y y = 0

Passo 3

Classificando esse ponto crítico, temos:

H 2 , - 4 = f x x 2 , - 4 f x y 2 , - 4 f y x 2 , - 4 f y y 2 , - 4 = - 24 0 - 12 12 = - 144

Logo, o ponto crítico 2 , - 4 é um ponto de sela.

Resposta

b) f possui somente um ponto crítico, e tal ponto crítico é um ponto de sela.  

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