Mostre que a função f ( x ,   y )   =   x   -   1 2   +   y   -   2 2   -   1 admite um mínimo local no ponto P   =   ( 2 ,   1 ) .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão pede para provarmos que a função f ( x ,   y ) = x - 1 2 + y - 2 2 - 1 admite um mínimo local no ponto P   =   ( 2 ,   1 ) .

Para isso, temos que saber de uma coisinha antes sobre o mínimo local.

Bom... dizemos que a função z = f x , y admite um mínimo local no ponto x 0 , y 0 , se existe um disco aberto R contendo x 0 , y 0 tal que f x , y ≥ f x 0   , y 0 , para todos os pontos x , y em R , conforme ilustra a figura a seguir:

Agora que sabermos dessa definição, vamos provar o que o enunciado nos disse!!

Mas antes, perceba que no ponto P = 2,1 , a função é:

f 2,1 = 2 -   1 2   +   1   -   2 2   -   1 ∴

f 2,1 = 1   +   1   -   1 ∴

f 2,1 = 1  

😉

Passo 2

Então... analisando a nossa função, podemos concluir o seguinte:

x - 1 2 ≥ 0 e y - 2 2 ≥ 0

Dessa forma, se somarmos as duas expressões, obtemos:

x - 1 2 + y - 2 2 ≥ 0

Somando - 1 em ambos os lados, temos:

x - 1 2 + y - 2 2 - 1 ≥ - 1

Note que x - 1 2 + y - 2 2 - 1 éa nossa função f x , y , logo:

f x , y ≥ - 1

Logo, perceba que f 2,1 > - 1 .

Assim, podemos concluir que P   =   ( 2 ,   1 ) é um ponto de mínimo local.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Resposta nos passos

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