1 - Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo relacionadas:

b) f x , y = x 3 + y 3 + 3 x y + 3 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, devemos obter os pontos críticos de f e classifica-los como ponto sela ou pontos de máximos ou mínimos locais ou globais.

Mas você sabe o que são pontos críticos?? 🤔

Pontos críticos são os pontos onde suas retas tangentes tem coeficiente angular nulo, ou seja, quando a derivada é igual a 0 .

Para obter os pontos críticos, obtemos o vetor gradiente de f , onde

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Depois disso, igualamos o gradiente a um vetor nulo e obtemos um sistema em que podemos encontrar os valores para x e y .

Veja só!

Passo 2

Primeiro vamos obter o gradiente de f

∂ f ∂ x = ∂ x 3 + y 3 + 3 x y + 3 ∂ x

Por derivação de polinômios

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 3 y

O segundo termo do gradiente é dado por

∂ f ∂ y = ∂ x 3 + y 3 + 3 x y + 3 ∂ y

Novamente por derivação de polinômios

∂ f ∂ y = 3 y 2 + 3 x

Com isso, obtemos o gradiente e igualando ao vetor nulo, temos

∇ f = 3 x 2 + 3 y , 3 y 2 + 3 x = 0,0

Assim, obtemos o sistema

3 x 2 + 3 y = 0 3 y 2 + 3 x = 0 → x 2 = - y y 2 = - x x = y

A partir desse sistema, podemos tirar conclusão de que x = y e x 2 = - y . Ou seja, temos apenas um ponto crítico, no caso x , y = - 1 , - 1

Entendeu?

Passo 3

Para classificar este ponto, devemos obter os valores de f x x , f x y , f y x e f y y e depois substituir os valores de x e y pelos valores das coordenadas do ponto - 1 , - 1 . Depois disso, devemos calcular o determinante da matriz

D = f x x f x y f y x f y y

Se D > 0 e f x x > 0 , o ponto é classificado como ponto mínimo

Se D > 0 e f x x < 0 , o ponto é classificado como ponto máximo

Já se D < 0 , o ponto é classificado como ponto sela

Vamos obter f x x derivando f x com relação a x

f x x = ∂ 3 x 2 + 3 y ∂ x = 6 x

Vamos obter f x y derivando f x com relação a y

f x y = ∂ 3 x 2 + 3 y ∂ y = 3

Para obter f y x , derivamos f y com relação a x

f y x = ∂ 3 y 2 + 3 x ∂ x = 3

Por fim, obtemos f y y derivando f y com relação a y

f y y = ∂ 3 y 2 + 3 x ∂ y = 6 y

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Por fim, substituímos x , y por - 1 , - 1 e calculamos o determinante

f x x - 1 , - 1 = 6 - 1 = - 6

f x y - 1 , - 1 = 3

f y x - 1 , - 1 = 3

f y y - 1 , - 1 = 6 - 1 = - 6

A matriz D então fica como

D = - 6 3 3 - 6

D = - 6 - 6 - 3 3

D = 27

Vemos que D > 0 e f x x < 0 , ou seja, o ponto crítico - 1 , - 1 é um ponto de máximo.

Analisando o gráfico de f

Vemos que o ponto - 1 , - 1 é um ponto de máximo local, já que existem valores maiores na imagem de f .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

- 1 , - 1 máximo local.

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