Uma determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y . Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários p 1 e p 2 , respectivamente, que dependem de x e y conforme equações: p 1 = 120 - 2 x e p 2 = 200 - y . O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por C = x 2 + 2 y 2 + 2 x y . Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro máximo?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função C de duas variáveis dada que representa o custo de uma empresa:

C x , y = x 2 + 2 y 2 + 2 x y

A questão também dos diz que a empresa produz dois produtos sob preços unitários a p 1 = 120 - 2 x e p 2 = 200 - y .

Nesse sentido devemos determinar a função do lucro da empresa e depois devemos maximizar o lucro, ou seja, temos que derivar a função para cada variável e igualar a zero para que encontremos os valores de x e y para o lucro máximo!

Com isso, substituiremos esses valores que encontramos na equação L x , y para encontrar o lucro máximo.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... a gente sabe que o lucro L é dado por:

L = V - C

Onde a venda V é dada por:

V = p 1 * x + p 2 * y ∴

V = 120 - 2 x x + 200 - y y ∴

V = 120 x - 2 x 2 + 200 y - y 2

A questão nos deu a função do custo C :

C x , y = x 2 + 2 y 2 + 2 x y

Nesse sentido, temos que o lucro L é dado por:

L x , y = 120 x - 3 x 2 + 200 y - 3 y 2 - 2 x y

Passo 3

Então... vamos derivar a função L utilizando as derivadas parciais:

∂ L ∂ x = 120 - 6 x - 2 y

∂ L ∂ y = 200 - 6 y - 2 x

Igualando essas duas expressões a zero, obtemos o seguinte sistema:

120 - 6 x - 2 y = 0 200 - 6 y - 2 x = 0

Resolvendo o sistema, encontramos x = 10 e y = 30 , que são os pontos de máximo!!

Passo 4

Nesse sentido, substituindo os pontos encontrados na função do lucro, temos:

L x , y = 120 x - 3 x 2 + 200 y - 3 y 2 - 2 x y ∴

L 10,30 = 120 * 30 - 3 30 2 + 200 * 10 - 3 10 2 - 2 * 10 * 30 ∴

L 10,30 = 3600

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

x , y = 10,30

L 10,30 = 3600

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