Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Máximos e Mínimos

Seja f ( x , y ) uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas no ponto ( 2,1 ) . Assuma que ( 2,1 ) é um ponto crítico de f e que f x x 2,1 = 1 , f x y 2,1 = 2 . Então ( 2,1 ) é um ponto de mínimo local de f se:

(a) f y y > 4

(b) f y y < 4

(c) f y y < 2

(d) f y y > 2

(e) a informação é insuficiente

Passo 1

Basicamente, o que ele quer nessa questão é que a gente faça um teste da derivada segunda.

Queremos que o ponto ( 2,1 ) seja um ponto de mínimo local, logo devemos ter:

H 2,1 > 0     e     f x x ( 2,1 ) > 0

Como f x x 2,1 = 1 > 0 , só temos que nos preocupar com a condição H 2,1 > 0 .

Lembrando que

H 2,1 = f x x ( 2,1 ) f x y ( 2,1 ) f y x ( 2,1 ) f y y ( 2,1 )

H 2,1 = f x x 2,1 . f y y 2,1 - f x y 2,1 . f y x ( 2,1 )

E como as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas em ( 2,1 ) , temos:

f x y 2,1 = f y x ( 2,1 )

Então agora é só substituir os valores do enunciado na fórmula do determinante!

H 2,1 = 1 . f y y 2,1 - 2.2 = f y y 2,1 - 4

Queremos H 2,1 > 0 logo:

f y y 2,1 - 4 > 0

f y y 2,1 > 4

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Resposta

Alternativa (a)

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