Uma indústria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por:

L x , y = 60 x + 100 y - 3 2 x 2 - 3 2 y 2 - x y

Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza o lucro. Determine, também esse lucro.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função L de duas variáveis dada que representa o lucro de uma empresa:

L x , y = 60 x + 100 y - 3 2 x 2 - 3 2 y 2 - x y

Onde x são as unidades de um produto A e y são as unidades de um produto B.

Queremos a produção que irá maximizar o lucro, ou seja, temos que derivar a função para cada variável e igualar a zero para que encontremos os valores de x e y para o lucro máximo!

Com isso, substituiremos esses valores que encontramos na equação L x , y para encontrar o lucro máximo.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... vamos derivar a função L utilizando as derivadas parciais:

∂ L ∂ x = 60 - 3 x - y

∂ L ∂ y = 100 - 3 y - x

Igualando essas duas expressões a zero, obtemos o seguinte sistema:

60 - 3 x - y = 0 100 - 3 y - x = 0

Resolvendo o sistema, encontramos x = 10 e y = 30 ,que são os pontos críticos!!

Agora, através do determinante hessiano, veremos se esses pontos críticos correspondem ao ponto de máximo:

H x , y = - 3 - 1 - 1 - 3 = 8

Logo, percebemos que:

H 10,30 = 8 > 0

E

∂ 2 L ∂ x 2 10,30 = - 3 < 0

Assim, podemos concluir que o ponto 10,30 é máximo que maximiza o lucro.

Passo 3

Nesse sentido, substituindo os pontos encontrados na função do lucro, temos:

L 10,30 = 60 * 10 + 100 * 30 - 3 2 10 2 - 3 2 30 2 - 10 * 30 ∴

L 10,30 = 1800

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

x , y = 10,30

L 10,30 = 1800

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