Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável em P = ( 2,3 ) . Considere a função g = g t = f 2 - 5 t , 3 ,   t ∈ R . Então é correto afirmar que:

  1. Se f x 2,3 = 0 e f x x 2,3 > 0 então não é possível concluir se g possui valor extremo local em t = 0
  2. Se f y 2,3 = 0 e f y y 2,3 > 0 então g tem ponto de máximo em t = 0
  3. Se f x 2,3 = 0 e f x x 2,3 > 0 então g tem ponto de máximo em t = 0
  4. Se f y 2,3 = 0 e f y y 2,3 > 0 então g tem ponto de mínimo em t = 0
  5. Se f x 2,3 = 0 e f x x 2,3 > 0 então g tem ponto de mínimo em t = 0

Passo 1

Nossa função é uma função composta. Assim, para fazermos a derivada dela, temos que usar a regra da cadeia:

g = g t = f 2 - 5 t , 3

x t = 2 - 5 t

y t = 3

Derivando em relação a t :

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ∙ ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∙ ∂ y ∂ t

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ∙ ( - 5 ) + ∂ f ∂ y ∙ 0

∂ f ∂ t = - 5 ∂ f ∂ x

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Passo 2

Agora as opções falam sobre “se alguma derivada primeira for nula e uma derivada segunda for maior que zero, então...”

Ok, o que sabemos até agora é que a derivada da função composta em relação a t depende da derivada parcial de f em relação a x .

Então vamos olhar para as opções que falam sobre a f x ser nula.

Se f x = 0 o que acontece é que a derivada da composta também se aula. E isso é condição necessária para a função ter máximo ou mínimo.

Otimo, parece que estamos num bom caminho.

Passo 3

Agora vamos analisar a segunda parte dessas opções.

“...e f x x 2,3 > 0 então não é possível concluir se g possui valor extremo local em t = 0

“...e f x x 2,3 > 0 então g tem ponto de máximo em t = 0

“... e f x x 2,3 > 0 então g tem ponto de mínimo em t = 0

Bom, lá pelo teste da derivada segunda, (lembrando que nossa função composta é uma função de uma variável só), diz que se f x x > 0 então o ponto é um ponto de mínimo da função.

Assim, a resposta certa é a que diz que g tem ponto de mínimo em t = 0 .

Resposta

Letra ( e )

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