Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos.

Assim, achando as derivadas:

f x = 1 - 2 y - 2 x

f y = 2 - 2 x - 6 y

Igualando a zero:

1 - 2 y - 2 x = 0

2 - 2 x - 6 y = 0

Passo 2

Isolando o x na primeira equação:

x = - 2 y + 1 2

E substituindo na segunda:

2 - 2 - 2 y + 1 2 - 6 y = 0

2 + 2 y - 1 - 6 y = 0

- 4 y = - 1

y = 1 4

Assim

x = - 2 y + 1 2 = - 2 1 4 + 1 2 = 1 4

O ponto crítico é

P 0 = 1 4 ,   1 4

Passo 3

Agora vamos classificar esse ponto crítico.

Calculando as derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 1 - 2 y - 2 x = - 2

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 2 - 2 x - 6 y = - 6

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 2 - 2 x - 6 y = - 2

Como são constantes, se substituirmos elas no ponto crítico, teremos a mesmas constantes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante:

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P = - 2 - 2 - 2 - 6 = - 2 - 6 - ( - 2 ) ( - 2 ) = 8

Como H P 0 > 0 e f x x P 0 = - 2 < 0 , o ponto 1 4 ,   1 4 é um ponto de máximo local.

Passo 5

Agora entramos com o enunciado.

De acordo com o que ele disse, para funções tipo a nossa, é possível provar que se um ponto é extremante local, então também é global.

Assim, nosso ponto de máximo local P 0 = 1 4 ,   1 4 é também um ponto de máximo global.

Resposta

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