Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, exemplo 4.4, p.131 (modificado)

Seja f x , y = 1 - x 2 + 4 x y - y 2 . Identifique e classifique o(s) ponto(s) crítico(s) de f .

Passo 1

Calcular gradiente:

f x , y = f x , f y

f x , y = - 2 x + 4 y ,   4 x - 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

f = 0

- 2 x + 4 y ,   4 x - 2 y = 0,0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

- 2 x + 4 y = 0   4 x - 2 y = 0

Dividindo tudo por 2:

- x + 2 y = 0   2 x - y = 0

Pela segunda equação:

y = 2 x

Substituindo na primeira equação:

- x + 2 2 x = 0

x = 0

Pela segunda equação novamente:

y = 0

Então:

x = 0   y = 0

Então o único ponto crítico é 0,0 .

Passo 4

Vamos analisar que tipo de ponto crítico é este:

P 0 = 0,0

Calculando derivadas segundas:

f x x = x f x = x - 2 x + 4 y = - 2

f y y = y f y = y 4 x - 2 y = - 2

f x y = x f y = x 4 x - 2 y = 4

Passo 5

Calculando essas derivadas no ponto P 0 = 0,0 :

f x x P 0 = - 2

f y y P 0 = - 2

f x y P 0 = 4

Passo 6

Calculando H P 0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

H P 0 = - 2 4 4 - 2

H P 0 = - 2 - 2 - 4 4

H P 0 = 4 - 16

H P 0 = - 12

Como H P 0 < 0 , então este é um ponto de sela.

Resposta

A função tem um ponto de sela em 0,0 .

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