Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Considere as seguintes afirmativas sobre a função

f x , y = x 3 3 - 2 3 y 3 + x 2 2 - 6 x + 32 y + 4

  1. ( 0,0 ) é um ponto de sela
  2. ( - 3 , - 4 ) é um ponto de mínimo local
  3. ( 2,4 ) é um ponto de sela
  4. ( - 3,4 ) é um ponto de máximo local
  5. ( 2 , - 4 ) é um ponto sela

Assinale a alternativa correta:

  1. As afirmativas III e IV são as únicas corretas
  2. Ás afirmativas II e IV são as únicas corretas
  3. As afirmativas III, IV e V são as únicas corretas
  4. As afirmativas I e IV são as únicas corretas
  5. As afirmativas I e III são as únicas corretas

Passo 1

Opa, falando de classificação de pontos críticos?

Bora fazer o teste da derivada segunda então.

Em questões “normais”, antes do teste, a gente deveria achar os pontos críticos, mas aqui isso não faz muito sentido, já que as opções já se referem a pontos específicos.

Então vamos só colocar esses pontos no teste.

Passo 2

Calculando as derivadas então:

f x , y = x 3 3 - 2 3 y 3 + x 2 2 - 6 x + 32 y + 4

f x = x 2 + x - 6

f y = - 2 y 2 + 32

f x x = 2 x + 1

f y y = - 4 y

f x y = f y x = 0

Passo 3

Calculando o determinante H num ponto genérico:

H P 0 = 2 x + 1 0 0 - 4 y

H P = 2 x + 1 - 4 y - 0.0 = - 8 x y - 4 y

Passo 4

Agora vamos testar cada um dos pontos das opções.

O ponto ( 0,0 ) :

H 0,0 = - 8 . 0.0 - 4 . 0 = 0

Então, não podemos dizer que esse ponto é um ponto de sela, porque na verdade, não podemos afirmar nada sobre esse ponto, já que o determinante deu zero.

Passo 5

O ponto ( - 3 , - 4 ) :

H - 3 , - 4 = - 8 . - 3 . - 4 - 4 . - 4 = - 96 + 16 = - 80 < 0

Logo, o ponto ( - 3 , - 4 ) é um ponto de sela e não mínimo local.

Passo 6

O ponto ( 2,4 ) :

H 2 , 4 = - 8 . 2 . 4 - 4 . 4 = - 64 - 16 = - 80 < 0

Assim, o ponto ( 2,4 ) é um ponto de sela e não mínimo local.

Passo 7

O ponto ( - 3,4 ) :

H - 3,4 = - 8 . - 3 . 4 - 4 . 4 = 96 - 16 = 80 > 0

Temos então que analisar o sinal de f x x ( - 3 , 4 ) :

f x x = 2 - 3 + 1 = - 5 < 0

Então, o ponto ( - 3 , 4 ) é um ponto de máximo local.

Passo 8

Finalmente, ponto ( 2 , - 4 ) :

H 2 , - 4 = - 8 . 2 . - 4 - 4 . - 4 = 64 + 16 = 80 > 0

Temos então que analisar o sinal de f x x ( 2 , - 4 ) :

f x x = 2 2 + 1 = 5 > 0

Então, o ponto ( 2 , - 4 ) é um ponto de mínimo local e não um ponto de sela.

Resposta

L e t r a   a

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