Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Passo 1

Devemos começar achando os pontos críticos. Primeiro vamos calcular as derivadas da função

f x = 2 x + 3 y + 2

f y = 4 y + 3 x + 2

Então os pontos críticos são aquele que

2 x + 3 y + 2 = 0

4 y + 3 x + 2 = 0

Passo 2

Isolando o x na primeira equação

x = - 3 y - 2 2

E substituindo na segunda,

4 y + 3 - 3 y - 2 2 + 2 = 0

4 y - 9 y 2 - 3 + 2 = 0

- y 2 = 1

y = - 2

Assim

x = - 3 y - 2 2 = - 3 ( - 2 ) - 2 2 = 2

O ponto crítico é

P 0 = 2 , - 2

Passo 3

Agora devemos calcular o determinante de

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 2 x + 3 y + 2 = 2

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 4 y + 3 x + 2 = 4

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 4 y + 3 x + 2 = 3

Passo 4

Como nossas derivadas segundas são valores constantes, ao substituir no ponto crítico teremos os mesmos valores constantes.

Assim, o determinante é

H P 0 = 2 3 3 4 = 2.4 - 3.3 = - 1

Como

H P 0 = - 1 < 0

Então o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

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