Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função

f x ,   y = x 2 + y 2 + x 2 y + 4

Passo 1

Pois bem, aqui a primeira coisa que devemos fazer é encontrar os prováveis pontos problemáticos igualando as derivadas parciais a zero!

∂ f ∂ x = 0

∂ f ∂ y = 0

Bora então calcular essas derivadas aí?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a f x ,   y = x 2 + y 2 + x 2 y + 4  

∂ f ∂ x = ∂ x 2 + y 2 + x 2 y + 4 ∂ x

Derivando parcialmente em relação à x ...

∂ f ∂ x = 2 x + 2 x y

Agora

∂ f ∂ y = ∂ x 2 + y 2 + x 2 y + 4 ∂ y = 2 y + x 2

Igualando essas duas coisas a z e r o , vamos determinar

∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0             →                       2 x + 2 x y = 0 2 y + x 2 = 0

um sistema que devemos resolver para obter os pontos críticos! Vem comigo! :)

Passo 3

Para resolver esse sisteminha, vamos nomear essas equações só para a gente não se perder, okay?

I               2 x + 2 x y = 0 I I                 2 y + x 2 = 0

Pow, observe a primeira equação! Se a gente colocar em evidência esse 2 x ...

I             2 x 1 + y = 0

Cara! Quando que um produto é zero? Sim! Quando alguma parcela desse produto for zero! Ou seja, nesse primeira equação aí, podemos ter dois casos:

  1. Ou x = 0
  2. Ou 1 + y = 0 e portanto y = - 1

Percebeu?

Substituindo o primeiro caso na equação de baixo ( I I ) :

I I         2 y + x 2 = 0                   ⇒ x = 0                     2 y + 0 = 0  

y = 0

  • Então nesse caso, obtemos o primeiro ponto crítico: x = 0 e y = 0 , ou 0 ,   0
  • Substituindo o segundo caso na equação de baixo:

    I I         2 y + x 2 = 0                   ⇒ y = - 1                     2 - 1 + x 2 = 0

    x 2 = 2

    Extraindo a raiz...

    x = ± 2

  • Epa! Agora obtivemos mais dois pontos, um com o positivo dessa raiz, e o outro negativo:

2 ,   - 1   e   - 2 ,   - 1

Passo 4

No total, encontramos 3 pontos críticos dessa função f : ( 0 ,   0 ) , 2 ,   - 1 e - 2 ,   - 1 . Vamos agora determinar o que cada um desses pontos são!

Para fazer isso, vamos analisar o teste da segunda derivada, ou seja:

D = f x x x 0 ,   y 0 f y y x 0 ,   y 0 - f x y x 0 ,   y 0 f y x x 0 ,   y 0

Como f x y x , y = f y x x , y – é fácil de conferir – nosso teste da segunda derivada consiste em calcular:

D = f x x x 0 ,   y 0 f y y x 0 ,   y 0 - f x y x 0 ,   y 0 2

Bem , então não podemos prosseguir sem encontrar essas segundas derivadas aí de f !

Passo 5

Para encontrar f x x , basta derivar novamente com relação a x a

∂ f ∂ x = 2 x + 2 x y

Derivando de novo em relação a x então

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = 2 + 2 y

Fazendo o mesmo para encontrar f y y

∂ f ∂ y = 2 y + x 2           →                 f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = 2

Agora para encontrar a f x y , devemos pegar a primeira derivada com relação à x , e agora derivar em relação a y , dessa forma

f x y = f x y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x →

f x y = ∂ ∂ y 2 x + 2 x y = 2 x

Passo 6

Retornando ao teste e substituindo essas derivadas parciais...

D = f x x x 0 ,   y 0 f y y x 0 ,   y 0 - f x y x 0 ,   y 0 2 →

D = 2 + 2 y 2 - 2 x 2 →

D = 4 y - 4 x 2 + 4

Substituindo os pontos que encontramos em D

  1. D 0 ,   0 = 4 ∙ 0 - 4 ∙ 0 2 + 4 = 4
  2. D 2 ,   - 1 = - 4 - 4 2 2 + 4 = - 8
  3. D - 2 ,   - 1 = - 4 - 4 - 2 2 + 4 = - 8

Como os pontos que deram menor que z e r o foram o segundo 2 ,   - 1 e o terceiro - 2 ,   - 1 , podemos falar que eles são de sela. Já o outro ponto...

Passo 7

Precisamos analisar a segunda derivada ( f x x ) em cima desse ponto para falarmos alguma coisa. Como essa derivada já foi calculada

f x x = 2 + 2 y

Basta substituir o ponto

f x x 0 ,   0 = 2 + 2 ∙ 0 = 2

Deu positivo? Então ( 0 ,   0 ) é de mínimo local!

Resposta

0 ,   0   →         M í n i m o   L o c a l

2 ,   - 1 →         P o n t o   d e   s e l a

- 2 ,   - 1 →         P o n t o   d e   s e l a

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