2 - Encontre o máximo e mínimo globais de cada uma das seguintes funções:

b) f x , y = x 3 + y 3 - 3 x y , na região triangular com vértices 0,0 , 0,1 e 1,0 ;

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, vamos calcular o ponto máximo e o ponto mínimo que a função assume dentro da área limitada pelo triângulo de vértices 0,0 , 0,1 e 1,0 .

Ok! Sabemos calcular os pontos de máximos e mínimos de uma função em toda sua imagem, mas como fazemos isso em uma área limitada??

Relaxa! Vamos usar o que já sabemos para encontrar os pontos críticos de f , mas vamos ignorar os pontos que não estão dentro da área do triangulo.

O que vai mudar é de devemos aplicar uma análise nas bordas da área do triângulo, encontrando os pontos onde a função assume os maiores e os menores valores.

Depois disso, vamos comparar os resultados e definir os extremos de f que obtemos.

Veja só!

Passo 2

Vamos começar pelo método comum. Vamos derivar f com relação a x e y e igualar a 0 para obter um sistema.

f x = ∂ x 3 + y 3 - 3 x y ∂ x

Por derivada de polinômios

f x = 3 x 2 - 3 y

Vamos obter a outra derivada

f y = ∂ x 3 + y 3 - 3 x y ∂ y

Também por derivada de polinômios

f y = 3 y 2 - 3 x

Assim, igualando as duas equações a 0 , obtemos o sistema

3 x 2 - 3 y = 0 3 y 2 - 3 x = 0

Manipulando essas equações, podemos chegar a

x 2 = y y 2 = x → x 2 = y y = x

Com isso vemos que x 2 = x .

Os únicos valores que podemos definir para x , é 0 e 1 .

Ou seja, temos dois pontos para ficarmos de olho 0,0 e 1,1 .

Porém, vamos ver que o ponto 1,1 está fora da nossa área do triangulo, então ele não nos interessa. Então temos apenas P 1 = 0,0 !

Tranquilo?

Passo 3

Vamos analisar a área do triângulo.

Temos que definir as equações que delimitam nosso espaço.

Para a reta que passa por A C , vemos que é x = 0 .

Para a reta A B , vemos que é y = 0 .

Já para a reta C B podemos definir pela matriz

x y 1 0 1 1 1 0 1 = 0

Ou simplesmente por y = - x + 1

Vamos analisar o comportamento da função quando estamos no limite do triangulo.

Quando estamos na borda x = 0 , temos

f 0 , y = 0 3 + y 3 - 3 0 y

f y = y 3

Imaginando o gráfico de f y = y 3 podemos dizer que no intervalo de 0 ≤ y ≤ 1 , f só aumenta, então o ponto 0,0 é o valor mínimo e o ponto 0,1 é o valor máximo dessa borda.

Como já suspeitávamos do ponto 0,0 , não vamos adicioná-lo novamente. Mas vamos adicionar o ponto P 2 = 0,1 à nossa lista.

Entendeu?

Passo 4

Analisando a borda y = 0 , temos

f x , 0 = x 3 + 0 3 - 3 x 0

f x = x 3

Temos exatamente o mesmo gráfico que acabamos de ver, apenas em outro eixo.

Podemos copiar os valores de antes apenas trocando os eixos de x e y .

Com isso, acrescentamos o ponto P 3 = 1,0 à nossa listinha.

Agora, analisando a borda y = 1 - x , temos

f x , 1 - x = x 3 + 1 - x 3 - 3 x 1 - x

f x = x 3 + 1 - 2 x + x 2 1 - x - 3 x + 3 x 2

Organizando um pouquinho mais essa função, temos

f x = x 3 + 3 x 2 - 3 x + 1 - x - 2 x + 2 x 2 + x 2 - x 3

f x = 6 x 2 - 6 x + 1

Com isso, vamos calcular os pontos críticos dessa função pelo método comum.

f x 1 = 12 x - 6 = 0

x = 1 2

Substituindo esse resultado na equação y = 1 - x , temos

y = 1 - 1 2 → y = 1 2

Portanto, encontramos o ponto P 4 = 1 2 , 1 2 .

Está acompanhando?

Passo 5

Por fim, vamos obter os valores e f para cada ponto e escolher o maior e o menor valor como máximo e mínimo.

Para o ponto P 1 = 0,0

f 0,0 = 0 3 + 0 3 - 3 0 0

f 0,0 = 0

Para o ponto P 2 = 0,1

f 0 , 1 = 0 3 + 1 3 - 3 0 1

f 0,1 = 1

Para o ponto P 3 = 1,0

f 1,0 = 1 3 + 0 3 - 3 1 0

f 1,0 = 1

Por fim, para o ponto P 4 = 1 2 , 1 2

f 1 2 , 1 2 = 1 2 3 + 1 2 3 - 3 1 2 1 2

f 1 2 , 1 2 = - 1 2

Comparando os resultados, vemos que em 1,0 e em 0,1 a função atingiu o maior valor, portanto, esses pontos são nossos pontos de máximos globais.

Já o menor valor foi obtido no ponto 1 2 , 1 2 , então este ponto é o nosso mínimo global.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

1,0 e 0,1 : Máximos globais.

1 2 , 1 2 : Mínimo global.

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