Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G4 - 2018.2, Questão 2

Considere

f x , y = y 2 x + x 2 - y 2

  1. Determine conjunto aberto
  2. A = x , y R 2     h x , y > 0 }  

    explicitando   h ( x , y ) tal que f restrita a A seja estritamente convexa. Exiba a hessiana de f e um ponto Q A .

  3. Esboce o conjunto aberto A .

Passo 1

a )

Para que f ( x , y ) seja estritamente convexa, precisamos que H ( x , y ) , ou seja, o determinante da matriz hessiana de f , seja estritamente positivo.

Vamos calcular as derivadas primeiras e segundas da nossa função para podermos fazer H x , y > 0 .

f x , y = y 2 x + x 2 - y 2

f x = y 2 + 2 x   f x x = 2

f y = 2 y x - 2 y   f y y = 2 x - 2

f x y = f y x = 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, temos que a hessiana de f é dada por:

H x , y = f x x f x y f y x f y y

H x , y = 2 2 y 2 y 2 x - 2

Para que ela seja estritamente positiva, precisamos que

f x x = 2 > 0

E

H x , y = 4 x - 4 - 4 y 2 > 0

Como f x x = 2 já é estritamente positivo, então precisamos que

H x , y = 4 x - 4 - 4 y 2 > 0

Assim, o nosso conjunto A é

A = x , y R 2     h x , y > 0 }  

A = x , y R 2     4 x - 4 - 4 y 2 > 0 }  

Passo 3

b )

Vamos esboçar o conjunto A .

A = x , y R 2     4 x - 4 - 4 y 2 > 0 }  

Para isso, vamos desvendar o que que ele representa né? Porque só olhando assim eu nã sei ainda o que é essa equação.

4 x - 4 - 4 y 2 > 0

4 x > 4 y 2 + 4

Dividindo todo mundo por 4:

x > y 2 + 1

E se isso fosse um sinal de igual, assim:

x = y 2 + 1

Teríamos uma parábola “olhando” para o eixo y , cortando o eixo x em x = 1 .

Mas como tem o sinal de maior, significa que estávamos falando de tudo que está maior que a parábola, assim:

Um ponto Q qualquer que tá aí dentro do conjunto A é, por exemplo, o ponto ( 2,0 ) .

Resposta

a )

A = x , y R 2     4 x - 4 - 4 y 2 > 0 }  

b )

Q = ( 2,0 ) A

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