Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

USP, Cálculo 2, P3 - 2016, Questão 2

Considere a função f   : R 2 R dada por

f x , y = k x 3 + x 2 + 2 y 2 - 4 x - 4 y

Onde k é um número real não nulo.

  1. Para que valores de k a função f possui exatamente dois pontos críticos?
  2. Classifique os dois pontos críticos de f obtidos no item anterior.

Passo 1

a )  

Para achar os pontos críticos vamos fazer:

f x , y = ( 0,0 )

3 k x 2 + 2 x - 4,4 y - 4 = 0,0

Assim

3 k x 2 + 2 x - 4 = 0 4 y - 4 = 0

Da segunda equação, temos de cara que

y = 1

Da primeira equação, vamos ter que usar báskara! Assim

x = - 2 ± 2 2 - 2 . 3 k . - 4 2 . 3 k

Simplificando:

x = - 1 ± 1 + 12 k 3 k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aí, para termos dois valores de x , e consequentemente dois pontos críticos, o que tá dentro da raiz (que é o tal do Δ ), tem que ser maior do que zero.

1 + 12 k > 0

Então,

k > - 1 12

Passo 3

b )

Os pontos críticos que encontramos foram:

- 1 + 1 + 12 k 3 k , 1

E

- 1 - 1 + 12 k 3 k , 1

Para classifica-los, vamos ter que usar o teste da derivada segunda. Assim, vamos primeiro encontrar as derivadas segundas.

f x = 3 k x 2 + 2 x - 4

f x x = 6 k x + 2

E

f y = 4 y - 4

f y y = 4

E

f x y = f y x = 0

Passo 4

Substituindo essas derivadas segundas nos pontos críticos:

Para - 1 + 1 + 12 k 3 k , 1 :

f x x   - 1 + 1 + 12 k 3 k , 1 = 6 k - 1 + 1 + 12 k 3 k + 2

f x x   - 1 + 1 + 12 k 3 k , 1 = 2 - 1 + 1 + 12 k + 2 = 2 1 + 12 k

f y y = 4

f x y = f y x = 0

E para - 1 - 1 + 12 k 3 k , 1 :

f x x   - 1 - 1 + 12 k 3 k , 1 = 6 k - 1 - 1 + 12 k 3 k + 2

f x x   - 1 - 1 + 12 k 3 k , 1 = 2 - 1 - 1 + 12 k + 2 = - 2 1 + 12 k

f y y = 4

f x y = f y x = 0

Passo 5

Calculando H P 0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Para - 1 + 1 + 12 k 3 k , 1 :

H P 0 = 2 1 + 12 k 0 0 4

H P 0 = 8 1 + 12 k > 0

Como H P 0 > 0 e f x x   = 2 1 + 12 k > 0 , então - 1 + 1 + 12 k 3 k , 1 é um ponto de mínimo.

E para - 1 - 1 + 12 k 3 k , 1 :

H P 0 = - 2 1 + 12 k 0 0 4

H P 0 = - 8 1 + 12 k < 0

Como H P 0 < 0 , então - 1 - 1 + 12 k 3 k , 1 é um ponto de sela.

Resposta

a )  

k > - 1 12

b )  

- 1 + 1 + 12 k 3 k , 1 é um ponto de mínimo.

- 1 - 1 + 12 k 3 k , 1 é um ponto de sela.

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