Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G3 - 2012.2, Questão 1

Considere a função

f x , y = y 3 + 3 x 2 y - 3 x 2 - 3 y 2 + 2

  1. Encontre os pontos críticos de f .
  2. Classifique os pontos críticos de f quanto a sua natureza (máximo local, mínimo local ou sela).

Passo 1

Resolvendo item (a): Vamos calcular todos os pontos críticos da função.

Para isso, calcular gradiente:

f x , y = f x , f y

f x , y = y 3 + 3 x 2 y - 3 x 2 - 3 y 2 + 2

Calculando f x :

f x = 0 + 6 x y - 6 x + 0 + 0

f x = 6 x y - 6 x

Calculando f y :

f y = 3 y 2 + 3 x 2 + 0 - 6 y + 0

f y = 3 y 2 + 3 x 2 - 6 y

Logo:

f x , y = 6 x y - 6 x ,   3 y 2 + 3 x 2 - 6 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

f = 0

6 x y - 6 x ,   3 y 2 + 3 x 2 - 6 y = 0,0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

6 x y - 6 x = 0   3 y 2 + 3 x 2 - 6 y = 0

Colocando em evidência:

6 x y - 1 = 0   3 y 2 + x 2 - 2 y = 0

Simplificando:

x y - 1 = 0   y 2 + x 2 - 2 y = 0

Pela primeira equação, temos duas possibilidades:

x = 0 ou y - 1 = 0

Passo 4

Primeira possibilidade:

x = 0

Substituindo na segunda equação:

y 2 + x 2 - 2 y = 0

y 2 + 0 2 - 2 y = 0

y 2 - 2 y = 0

y y - 2 = 0

De novo, temos duas opções:

y = 0 ou y - 2 = 0

Isto é: y = 0 ou y = 2

Temos, então, dois pontos para x = 0 :

0,0   ; 0,2  

Passo 5

Segunda possibilidade:

y - 1 = 0

y = 1

Substituindo na segunda equação:

y 2 + x 2 - 2 y = 0

1 2 + x 2 - 2 1 = 0

x 2 = 2 - 1

x 2 = 1

x = ± 1

x = ± 1

Temos, então, dois pontos para y = 1 :

± 1 ,   1

Então temos quatro pontos críticos:

P 1 = 0,0

P 2 = 0,2

P 3,4 = ± 1,1

Passo 6

Resolvendo o item (b): classificar os pontos críticos.

Calculando derivadas segundas:

f x x = x f x = x 6 x y - 6 x

x 6 x y - 6 x = 6 y - 6

f x x = 6 y - 6

Passo 7

f y y = y f y = y 3 y 2 + 3 x 2 - 6 y

y 3 y 2 + 3 x 2 - 6 y = 6 y + 0 - 6

f y y = 6 y - 6

Passo 8

f x y = x f y = x 3 y 2 + 3 x 2 - 6 y

x 3 y 2 + 3 x 2 - 6 y = 0 + 6 x + 0

f x y = 6 x

Agora substituímos cada ponto na matriz hessiana:

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P

Passo 9

P 1 = 0,0

f x x P 1 = 6 0 - 6 = - 6

f y y P 1 = 6 0 - 6 = - 6

f x y P 1 = 6 0 = 0

Substituindo na matriz hessiana:

H P 1 = f x x P 1 f x y P 1 f y x P 1 f y y P 1

H P 1 = - 6 0 0 - 6

Sabemos que a soma dos autovalores é dada pela soma da diagonal (traço) da matriz:

s = - 6 + - 6

s = - 12

E sabemos que o produto dos autovalores é o determinante da matriz:

p = - 6 - 6 - ( 0 ) ( 0 )

p = 36

Agora basta resolver a equação de segundo grau substituindo s e p :

λ 2 - s λ + p = 0

λ 2 - - 12 λ + 36 = 0

λ 2 + 12 λ + 36 = 0

Resolvendo essa equação, temos que

λ 1 = - 6   λ 2 = - 6

Como os dois autovalores são negativos, então este é um ponto de máximo local!

Passo 10

P 2 = 0,2

f x x P 2 = 6 2 - 6 = 6

f y y P 2 = 6 2 - 6 = 6

f x y P 2 = 6 0 = 0

Substituindo na matriz hessiana:

H P 2 = f x x P 2 f x y P 2 f y x P 2 f y y P 2

H P 2 = 6 0 0 6

Sabemos que a soma dos autovalores é dada pela soma da diagonal (traço) da matriz:

s = 6 + 6

s = 12

E sabemos que o produto dos autovalores é o determinante da matriz:

p = 6 6 - ( 0 ) ( 0 )

p = 36

Agora basta resolver a equação de segundo grau substituindo s e p :

λ 2 - s λ + p = 0

λ 2 - 12 λ + 36 = 0

λ 2 - 12 λ + 36 = 0

Resolvendo essa equação, temos que

λ 1 = 6   λ 2 = 6

Como os dois autovalores são positivos, então este é um ponto de mínimo local!

Passo 11

P 3 = 1,1

f x x P 3 = 6 1 - 6 = 0

f y y P 3 = 6 1 - 6 = 0

f x y P 3 = 6 1 = 6

Substituindo na matriz hessiana:

H P 3 = f x x P 3 f x y P 3 f y x P 3 f y y P 3

H P 3 = 0 6 6 0

Sabemos que a soma dos autovalores é dada pela soma da diagonal (traço) da matriz:

s = 0 + 0

s = 0

E sabemos que o produto dos autovalores é o determinante da matriz:

p = 0 0 - ( 6 ) ( 6 )

p = - 36

Agora basta resolver a equação de segundo grau substituindo s e p :

λ 2 - s λ + p = 0

λ 2 - 0 λ + - 36 = 0

λ 2 - 36 = 0

Resolvendo essa equação, temos que

λ 1 = 6   λ 2 = - 6

Como temos um autovalor positivo e outro negativo, então este é um ponto de sela!

Passo 12

P 4 = - 1,1

f x x P 4 = 6 1 - 6 = 0

f y y P 4 = 6 1 - 6 = 0

f x y P 4 = 6 - 1 = - 6

Substituindo na matriz hessiana:

H P 4 = f x x P 4 f x y P 4 f y x P 4 f y y P 4

H P 4 = 0 - 6 - 6 0

Sabemos que a soma dos autovalores é dada pela soma da diagonal (traço) da matriz:

s = 0 + 0

s = 0

E sabemos que o produto dos autovalores é o determinante da matriz:

p = 0 0 - ( - 6 ) ( - 6 )

p = - 36

Agora basta resolver a equação de segundo grau substituindo s e p :

λ 2 - s λ + p = 0

λ 2 - 0 λ + - 36 = 0

λ 2 - 36 = 0

Resolvendo essa equação, temos que

λ 1 = 6   λ 2 = - 6

Como temos um autovalor positivo e outro negativo, então este é um ponto de sela!

Resposta

  1. Pontos críticos:
  2. P 1 = 0,0

    P 2 = 0,2

    P 3 = 1,1

    P 4 = - 1,1

  3. Classificação dos pontos críticos:

P 1 = 0,0 - ponto de máximo local

P 2 = 0,2 - ponto de mínimo local

P 3 = 1,1 - ponto de sela

P 4 = - 1,1 - ponto de sela

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