Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2014.1, Questão ME5

Considere a função

f x , y = x + 8 y - x 4 4 - y 4 4 ,

o ponto ( 1,2 )

(a) é de mínimo local

(b) é de máximo local

(c) é de mínimo global

(d) é de sela

(e) não é ponto crítico

Passo 1

Vamos primeiro testar se o ponto ( 1,2 ) é ponto crítico!

Pra isso temos que calcular as derivadas parciais da f   no ponto e ver se elas se anulam:

f x x , y = 1 + 0 - x 3 - 0

f x 1,2 = 1 - 1 = 0

f y x , y = 0 + 8 - 0 - y 3

f y 1,2 = 8 - 8 = 0

Show! ( 1,2 ) é um ponto crítico! Então agora vamos ter que mandar um teste da derivada segunda pra classificá-lo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular as derivadas segundas:

f x x , y = 1 - x ³

f x x x , y = - 3 x 2

f x x 1,2 = - 3

f y x , y = 8 - y 3

f y y x , y = - 3 y 2

f y y 1,2 = - 3.4 = - 12

f x y x , y = f y x x , y = 0

Então em ( 1,2 ) também temos

f x y 1,2 = f y x 1,2 = 0

Passo 3

Pronto, agora vamos aplicar o teste da derivada segunda!

H 1,2 = f x x 1,2 f x y 1,2 f y x 1,2 f y y 1,2 = - 3 0 0 - 12 = - 3 . - 12 - 0 = 36 > 0

H 1,2 > 0 então ( 1,2 ) não é ponto de sela, temos que ver o sinal de f x x ( 1,2 ) .

E como f x x 1,2 = - 3 < 0 , o ponto ( 1,2 ) é ponto de máximo local!

Resposta

Alternativa (b)

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