Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2012.2, Questão 4a

Dada a função

f x , y = x 3 3 - 4 x + y 2 - 1 3

Determine e classifique os pontos críticos de f em todo o R 2

Passo 1

Calcular gradiente:

f x , y = f x , f y

f x , y = x 2 - 4 ,   2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

f = 0

x 2 - 4 ,   2 y = 0,0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

x 2 - 4 = 0   2 y = 0

Pela segunda equação:

2 y = 0

y = 0

Pela primeira equação:

x 2 - 4 = 0

x 2 = 4

x = ± 2

Então temos duas possibilidades:

± 2,0

Ou seja:

2,0   ; - 2,0

Passo 4

Calculando derivadas segundas:

f x x = x f x = x x 2 - 4 = 2 x

f y y = y f y = y 2 y = 2

f x y = x f y = x 2 y = 0

Passo 5

Calculando H x , y :

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y

H x , y = 2 x 0 0 2

H x , y = 2 x 2 - 0 0

H x , y = 4 x

Passo 6

Agora vamos calcular H x , y para cada ponto crítico:

P 1 = 2,0

H P 1 = H 2,0

H P 1 = 4 2

H P 1 = 8

Como H P 1 > 0 , então este é um ponto de máximo ou mínimo.

Para saber, basta analisar o sinal de f x x P 1 :

f x x x , y = 2 x

f x x P 1 = f x x 2,0 = 2 ( 2 )

f x x P 1 = 4

Como f x x P 1 > 0 , então este é um ponto de mínimo.

Passo 7

P 2 = - 2,0

H P 2 = H - 2,0

H P 2 = 4 - 2

H P 2 = - 8

Como H P 2 < 0 , então este é um ponto de sela.

Resposta

Ponto de mínimo local: 2,0

Ponto de sela: - 2,0

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas