Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

UFPE, Calculo 2, 2º EE - 2017.2, Questão 3

Uma empresa produz x camisas e y calças por mês. Cada camisa é vendida por 120 - 2 x e cada calça por 200 - y . O custo total da empresta para produzir e vender x camisas e y calças é

x 2 + 2 y 2 + 2 x y

Admitindo que tudo que a empresa produz é vendido de fato, determine a produção que maximiza o lucro da empresa, bem como o lucro máximo possível.

(Dica: o lucro é o total arrecadado com as vendas menos o custo de produção e venda).

Passo 1

Bom, já percebemos que vamos ter que definir a nossa função lucro, que é a função que queremos maximizar.

Para isso, vamos começar dando nome aos bois então.

Vamos chamar de C ( x , y ) o custo que a empresa tem pra produzir e vender x camisas e y calças. Assim

C x , y = x 2 + 2 y 2 + 2 x y

Vamos chamar de G ( x , y ) o total de dinheiro que a empresa ganha ao vender x camisas e y calças. Assim

G x , y = 120 - 2 x x + 200 - y y

G x , y = 120 x - 2 x 2 + 200 y - y 2

Dessa forma, nosso lucro L ( x , y ) será, segundo a dica da questão,

L x , y = G x , y - C ( x , y )

L x , y = 120 x - 2 x 2 + 200 y - y 2 - ( x 2 + 2 y 2 + 2 x y )

L x , y = 120 x - 3 x 2 + 200 y - 3 y 2 - 2 x y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O lucro será máximo quando a derivada dele for nula. Ou seja,

L x , y = ( 0,0 )

Vamos calcular as derivadas parciais de L :

L x = - 6 x + 120 - 2 y

L y = - 6 y + 200 - 2 x

Assim, precisamos resolver o sistema:

- 6 x + 120 - 2 y = 0 - 6 y + 200 - 2 x = 0

Passo 3

Podemos dar uma simplificada nesse sistema antes de começar a resolver:

3 x + y = 60 3 y + x = 100

Isolando o y na primeira equação

y = 60 - 3 x

E substituindo na segunda:

3 60 - 3 x + x = 100

180 - 9 x + x = 100

- 8 x = - 80

x = 10

E assim

y = 60 - 3 10 = 30

Portanto, o único ponto crítico da nossa função é 10,30 .

Passo 4

Agora vamos classificar esse ponto crítico pra saber se ele é ponto de máximo, usado o teste da derivada segunda.

Primeiro vamos calcular as derivadas segundas de L :

L x = - 6 x + 120 - 2 y

L x x = - 6

L y = - 6 y + 200 - 2 x

L y y = - 6

E as derivadas parciais mistas:

L x y = L y x = - 2

Agora sim, o teste da derivada segunda fica:

H P 0 = L x x P 0 L x y P 0 L y x P 0 L y y P 0 = - 6 - 2 - 2 - 6

H 10,30 = - 6 - 6 - - 2 - 2

H 10,30 = 36 - 4 = 32 > 0

E, como L x x = - 6 < 0 , então nosso ponto ( 10,30 ) é um ponto de máximo local.

E, como L ( x , y ) é diferenciável e só possui um único ponto crítico em R 2 , que é o próprio ( 10,30 ) , então esse ponto também é ponto de máximo global.

Assim, o lucro máximo é

L 10,30 = 120 . 10 - 3 . 10 2 + 200 . 30 - 3 . 30 2 - 2 . 10.30

L 10,30 = 3600

Resposta

O ponto ( 10,30 ) é ponto de máximo global.

O lucro máximo é L 10,30 = 3600

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