Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Cálculo 2 UFRJ, P2 2013.2, questão 2

A função f x , y = y sen x possui

  1. Infinitos pontos de sela
  2. Infinitos pontos de máximo local
  3. Infinitos pontos de mínimo local
  4. Exatamente um ponto de mínimo local e um de máximo local
  5. Nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Devemos começar achando os pontos críticos. Primeiro vamos calcular as derivadas da função

f x = y cos x

f y = sen x

Então os pontos críticos são aquele que

y cos x = 0

sen x = 0

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Passo 2

Da segunda equação temos

x = 0 + k π

Com k sendo um número inteiro.

Dessa forma na primeira equação temos

y cos 0 + k π = 0

O cosseno vai ser sempre diferente de zero, logo

y = 0

O ponto crítico é

P 0 = k π , 0

Com k sendo um número inteiro.

Passo 3

Agora devemos calcular o determinante de

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = x f x = x y cos x = - y sen x

f y y = y f y = y sen x = 0

f x y = x f y = x sen x = cos x

Passo 4

Substituindo os valores dos pontos críticos vamos encontrar

f x x P 0 = 0

f y y P 0 = 0

f x y P 0 = cos k π

Passo 5

Voltando ao determinante

H P 0 = 0 cos k π cos k π 0 = - cos 2 k π

Como

cos k π = ± 1

Vamos ter

H P 0 = - 1 < 0

Então todos os pontos críticos são pontos de sela, e teremos infinitos pontos de sela.

Resposta

Alternativa (a)

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