Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

UFPE, Calculo 2, PF - 2017.2, Questão 2

Questão 2: Considere a função f x ,   y = x 4 + y 4 - 4 x y + 1 .

  1. Determine os pontos críticos de f .
  2. Classifique os pontos críticos de f .

Passo 1

a )

Para um ponto ser crítico dentro de uma função, lembra as derivadas tem que ser 0 ? Ou melhor, o vetor gradiente deve ser nulo!

f x , f y = 0 ,   0

Vamos calcular cada uma dessas derivadas aí, então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

f x ,   y = x 4 + y 4 - 4 x y + 1

A primeira derivada é...

f x = 4 x 3 - 4 y

E

f y = 4 y 3 - 4 x

Como

f x , f y = 0 ,   0

Então ganhamos um sisteminha para resolver:

4 x 3 - 4 y = 0 4 y 3 - 4 x = 0

Passo 3

Esse sisteminha pode ser resolvido por substituição! Veja, isolando y em cima...

4 x 3 - 4 y = 0                       4 y = 4 x 3                           y = x 3

Substituindo na equação de baixo...

4 y 3 - 4 x = 0                             4 x 3 3 - 4 x = 0           ÷ 4            

Dividindo todo mundo por 4 ...

x 9 - x = 0            

x x 8 - 1 = 0

Ou x = 0 ou x 8 - 1 = 0 . Se x 8 - 1 = 0 ...

x 8 - 1 = 0         x 8 = 1

x = ± 1

Então temos 3 soluções...

x 1 = 0 ,     x 2 = 1                 e             x 3 = - 1

Para encontrar os y correspondentes desses pontos, basta jogar em y = x 3 ...

y 1 = 0 3 = 0 ,     y 2 = 1 3 = 1                 e             y 3 = - 1 3 = - 1

Ou seja, os pontos críticos são...

0 ,   0 ,         1 ,   1             e                 - 1 ,   - 1

Passo 4

b )

Para a classificação, podemos fazer o teste da segunda derivada para cada ponto e ver no que vai dar! Se você não se lembra, o teste da segunda derivada a gente sempre calcula

f x x f y y - f x y 2

Veja bem, calculando essas segundas derivadas, ganhamos...

f x x = x f x =

x 4 x 3 - 4 y = 12 x 2

f y y = y f y =

y 4 y 3 - 4 x = 12 y 2

Por fim...

f x y = y f x =

y 4 x 3 - 4 y = - 4

Agora é só testar os pontos mesmo!

Passo 5

  • Para o ponto 0 ,   0 ...
  • f x x f y y - f x y 2 = 12 x 2 12 y 2 - - 4 2 =

    144 0 2 0 2 - 16 =

    - 16

    Como foi negativo, então 0 ,   0 é um ponto de sela.

  • Para 1 ,   1 ...
  • f x x f y y - f x y 2 = 4 x 2 4 y 2 - - 4 2 =

    144 1 2 1 2 - 16 =

    128

    Como foi positivo, ele é ou de máximo ou de mínimo, basta então a gente ver o valor da segunda derivada f x x ...

    f x x = 12 x 2 =

    12 1 2 = 12

    A segunda derivada é positiva, então se trata de um ponto de mínimo local.

  • Para o ponto - 1 ,   - 1 , o resultado é o mesmo anterior, já que no caso as derivadas são todas envolvendo quadrado...

f x x f y y - f x y 2 = 144 - 1 2 - 1 2 - 16 =

128

E

f x x = 12 - 1 2 = 12

Resposta

a )         0 ,   0 ,             1 ,   1             e             - 1 ,   - 1

b )           0 ,   0                   Ponto de sela

                    1 ,   1                 Ponto de Mínimo Local

      - 1 , -   1                 Ponto de Mínimo Local

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