Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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UFRJ, Cálculo 2, P2 2015.2, questão 4
Seja , qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
- possui somente um ponto crítico, e tal ponto crítico é um ponto de mínimo local.
- possui somente um ponto crítico, e tal ponto crítico é um ponto de sela.
- possui somente dois pontos críticos, sendo um de máximo local e outro de sela.
- possui somente um ponto crítico, e tal ponto crítico é um ponto de máximo local.
- Não sei
Passo 1
Vamos começar encontrando os pontos críticos de . Temos:
Temos:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então temos o ponto:
Passo 2
Agora temos de classificar esse ponto crítico. Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada. Já temos:
Calculando as derivadas de ordem superior:
No ponto temos:
Passo 3
Classificando esse ponto crítico, temos:
Logo, o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
b) possui somente um ponto crítico, e tal ponto crítico é um ponto de sela.
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