Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G3 - 2018.1, Questão 1

Seja

D = x , y R 2   x > 0 }  

E seja f   : D R definida por

f x , y = x 3 6 + y x 2 2 - y 3 6 + x y 2 2 + y 2 2 - 6 x     ,     x , y D

  1. Seja det H f x , y o determinante da matriz hessiana de f em x , y D . Obtenha as funções L 1 ( x , y ) e L 2 ( x , y ) tal que
  2. det H f x , y = L 1 x , y L 2 x , y ,   x , y D

  3. Classifique os pontos críticos de f em D
  4. Encontre funções g 1 x , y e g 2 x , y tal que f restrita ao conjunto aberto

A = x , y D   g 1 x , y > 0   e   g 2 x , y > 0 }  

Seja estritamente convexa. Desenhe A tracejando e explicite x 0 , y 0 A

Passo 1

a )

Basicamente precisamos calcular o determinante da matriz hessiana de f .

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Para isso, vamos começar calculando as derivadas primeiras de f :

f x , y = x 3 6 + y x 2 2 - y 3 6 + x y 2 2 + y 2 2 - 6 x    

f x = 3 x 2 6 + 2 x y 2 + y 2 2 - 6

f y = x 2 2 - 3 y 2 6 + 2 x y 2 + 2 y 2

Agora vamos as derivadas segundas:

f x x = 6 x 6 + y = x + y

f y y = - 6 y 6 + x + 1 = x - y + 1

f x y = f y x = x + y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando o determinante:

x + y x + y x + y x - y + 1

det H f x , y = x + y x - y + 1 - x + y 2

det H f x , y = x + y 1 - 2 y

Assim

L 1 x , y = x + y

L 2 x , y = 1 - 2 y

Passo 3

b )

Para classificar os pontos críticos de f , vamos precisar primeiro encontrar os pontos críticos de f , para isso, fazemos

f x = x 2 2 + x y + y 2 2 - 6 = 0

f y = x 2 2 - y 2 2 + x y + y = 0

Subtraindo a primeira da segunda:

f y - f x = 0 - y 2 + y + 6

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos que

y = 3

Ou

y = - 2

Agora, para achar o valor de x , vamos substituir essas duas opções de y na primeira equação.

Passo 4

Começando por y = 3 :

x 2 2 + 3 x + 3 2 2 - 6 = 0

x 2 2 + 3 x - 3 2 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, tiramos que

x 1 = - 3 + 2 3

Ou

x 2 = - 3 - 2 3

Acontece que o nosso ponto crítico deve pertencer ao conjunto D , assim, x 2 , como é menor que zero, não pertence a D .

Então temos um ponto crítico

P 1 = - 3 + 2 3 , 3

Agora substituindo y = - 2 , temos

x 2 2 - 2 x + - 2 2 2 - 6 = 0

x 2 2 - 2 x - 4 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, chegamos em

x 1 = 2 + 2 3 > 0   ( D )

x 2 = 2 - 2 3 < 0   ( D )

Assim, temos mais um ponto crítico:

P 2 = ( 2 + 2 3 , - 2 )

Passo 5

Agora precisamos classificar essas bagaças.

Sorte que na letra a a gente já meio que fez o teste da derivada segunda.

Pra concluir ele, só falta substituir os valores dos pontos críticos e ver o sinal do determinante.

Começando por P 1 = - 3 + 2 3 , 3 :

det H f - 3 + 2 3 , 3 = - 3 + 2 3 + 3 1 - 2.3 = 2 3 . - 5 < 0

Logo, o ponto P 1 é um ponto de sela.

Agora vamos classificar o ponto P 2 = ( 2 + 2 3 , - 2 ) :

det H f 2 + 2 3 , - 2 = 2 + 2 3 - 2 1 - 2 . ( - 2 ) = 2 3 . 5 > 0

Precisamos então olhar o sinal de f x x :

f x x 2 + 2 3 , - 2 = 2 + 2 3 - 2 = 2 3 > 0

Assim, o ponto P 2 é um ponto de mínimo local de f em D .

Passo 6

c )

Para f ser estritamente convexa a gente precisa que f possua apenas pontos de mínimo. E pra garantir isso, a gente precisa que H f x , y = f x x x , y f y y x , y - f x y x , y f y x x , y > 0

E que

f x x x , y > 0

Para x , y A .

Substituindo os valores que a gente já tem, precisamos que

x + y 1 - 2 y > 0

E

x + y > 0

Como nosso conjunto A é definido por

A = x , y D   g 1 x , y > 0   e   g 2 x , y > 0 }  

Temos que

g 1 x , y = x + y >

g 2 x , y = 1 - 2 y > 0

Passo 7

Ainda precisamos esboçar esse negócio.

Pra isso, é só a gente esboçar as retas

x + y = 0

E

1 - 2 y = 0

E nosso conjunto A será tudo que tá dentro dessas duas retas, mas sem incluir elas, porque temos o sinal apenas de > e não de , sacou?

Assim, vamos desenhar essas retas tracejadas:

Essa parte verde é a nossa região A .

Resposta

a )

L 1 x , y = x + y

L 2 x , y = 1 - 2 y

b )

P 1 = - 3 + 2 3 , 3 é ponto de sela.

P 2 = ( 2 + 2 3 , - 2 ) é ponto de mínimo.

c )

g 1 x , y = x + y >

g 2 x , y = 1 - 2 y > 0

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