Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

USP, Cálculo 2, P3 - 2017, Questão E3

Sobre a função f : R 2 R dada por

f x , y = k 3 x 2 - y 2 2 + x y + x

x , y R 2

Considere as afirmações:

  1. Para todo k R , f tem exatamente um ponto crítico
  2. Para todo k R , f não tem pontos de mínimo local
  3. f tem um único ponto de sela se, e somente se, k > - 3 2
  4. Para k = - 2 , 3 2 é um paximo local de f

São verdadeiras:

  1. Todas as afirmativas
  2. Apenas as afirmações II, III, IV
  3. Apenas as afirmações I e III
  4. Apenas as afirmações I, III, IV
  5. Apenas as afirmações III, IV

Passo 1

Vamos começar achando os pontos críticos da nossa f .

Para isso, vamos calcular as derivadas parciais e igualar a zero:

f x = 2 k 3 x + y + 1 = 0

f y = - y + x = 0

Da segunda equação, tiramos que

x = y

Substituindo isso na primeira equação:

2 k 3 x + x + 1 = 0

2 k + 3 3 x = - 1

x = - 3 2 k + 3

E assim

y = - 3 2 k + 3

Portanto, nossos pontos críticos são

P = - 3 2 k + 3 ,   - 3 2 k + 3

NossoS porque o k pode assumir qualquer valor real, então na verdade para cada valor diferente de k , teremos um ponto diferente.

Com isso, já excluímos a afirmação I.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos classificar esses pontos críticos.

Achando as derivadas segundas:

f x x = x f x = x 2 k 3 x + y + 1 = 2 k 3

f y y = y f y = y - y + x = - 1

f x y = x f y = x - y + x = 1

Substituindo no ponto crítico, ficamos com elas mesmas, pois elas já tem valores constantes.

Passo 3

O teste da derivada segunda fica então

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

H P 0 = 2 k 3 1 1 - 1 = - 2 k 3 - 1 = - 2 k + 3 3

Agora precisamos analisar o sinal de k para saber o sinal de H ( P ) .

Os critérios do teste são:

H P 0 > 0 P 0 é ponto de máximo ou mínimo

Se f x x P 0 > 0 P 0 é ponto de mínimo

Se f x x P 0 < 0 P 0 é ponto de máximo

H P 0 < 0 P 0 é ponto de sela

Passo 4

Agora vamos testar as alternativas que faltam.

Começando pela segunda:

  1. Para todo k R , f não tem pontos de mínimo local
  2. Para H P > 0 , precisamos que

    2 k + 3 < 0 k < 0

    Mas, se k < 0 , então f x x = 2 k 3 < 0 , de modo que f não pode ter pontos de mínimo.

    Passo 5

    Agora vamos para a terceira:

  3. f tem um único ponto de sela se, e somente se, k > - 3 2
  4. Para f ter ponto de sela é preciso que H P 0 < 0 :

    - 2 k + 3 3 < 0 - 2 k - 3 < 0

    k > - 3 2

    Ou seja, essa afirmativa é verdadeira.

    Passo 6

    Finalmente, ultima alternativa!

  5. Para k = - 2 , 3 2 é um maximo local de f

Se k = - 2 :

H P = - 2 - 2 + 3 3 = 1 3 > 0

E

f x x P = 2 - 2 3 = - 4 3 < 0

Logo,

P = - 3 2 ( - 2 ) + 3 ,   - 3 2 ( - 2 ) + 3 = 3,3

É um ponto de máximo local e

f 3,3 = - 2 3 3 2 - 3 2 2 + 3.3 + 3

f 3,3 = - 6 - 9 2 + 9 + 3

f 3,3 = 6 - 9 2

f 3,3 = 3 2

É um máximo local.

Afimativa IV é verdadeira.

Resposta

L e t r a   b

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