Sobre a função f : R 2 → R dada por

f x , y = k 3 x 2 - y 2 + 2 x y + x

x , y ∈ R 2

Considere as afirmações:

  1. Para todo k ∈ R , f tem exatamente um ponto crítico
  2. Para todo k ∈ R , f não tem pontos de mínimo local
  3. f tem um único ponto de sela se, e somente se, k > - 3
  4. Para k = - 4 , 3 4 é um maximo local de f

São verdadeiras:

  1. Todas as afirmativas
  2. Apenas as afirmações II, III, IV
  3. Apenas as afirmações I e III
  4. Apenas as afirmações I, III, IV
  5. Apenas as afirmações III, IV

Passo 1

Vamos começar achando os pontos críticos da nossa f .

Para isso, vamos calcular as derivadas parciais e igualar a zero:

∂ f ∂ x = 2 k 3 x + 2 y + 1 = 0

∂ f ∂ y = - 2 y + 2 x = 0

Da segunda equação, tiramos que

x = y

Substituindo isso na primeira equação:

2 k 3 x + 2 x + 1 = 0

2 k + 6 3 x = - 1

x = - 3 2 k + 6

E assim

y = - 3 2 k + 6

Portanto, nossos pontos críticos são

P = - 3 2 k + 6 ,   - 3 2 k + 6

NossoS porque o k pode assumir qualquer valor real, então na verdade para cada valor diferente de k , teremos um ponto diferente.

Com isso, já excluímos a afirmação I.

Passo 2

Agora vamos classificar esses pontos críticos.

Achando as derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 2 k 3 x + 2 y + 1 = 2 k 3

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y - 2 y + 2 x = - 2

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x - 2 y + 2 x = 2

Substituindo no ponto crítico, ficamos com elas mesmas, pois elas já tem valores constantes.

Passo 3

O teste da derivada segunda fica então

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

H P 0 = 2 k 3 2 2 - 2 = - 4 k 3 - 4 = - 4 k + 12 3

Agora precisamos analisar o sinal de k para saber o sinal de H ( P ) .

Os critérios do teste são:

H P 0 > 0 ⟶ P 0 é ponto de máximo ou mínimo

Se f x x P 0 > 0 ⟶ P 0 é ponto de mínimo

Se f x x P 0 < 0 ⟶ P 0 é ponto de máximo

H P 0 < 0 ⟶ P 0 é ponto de sela

Passo 4

Agora vamos testar as alternativas que faltam.

Começando pela segunda:

  1. Para todo k ∈ R , f não tem pontos de mínimo local
  2. Para H P > 0 , precisamos que

    - 4 k + 12 3 > 0 → 4 k + 12 < 0 → k < - 3

    Mas, se k < 0 , então f x x = 2 k 3 < 0 , de modo que f não pode ter pontos de mínimo.

    Passo 5

    Agora vamos para a terceira:

  3. f tem um único ponto de sela se, e somente se,   k > - 3
  4. Se k < - 3 resulta em H P > 0 , conforme achamos no passo anterior, então para H P < 0 , então é preciso que k > - 3 .

    Ou seja, essa afirmativa é verdadeira.

    Passo 6

    Finalmente, ultima alternativa!

  5. Para k = - 4 , 3 4 é um maximo local de f

Se k = - 4 :

H P = - 4 - 4 + 12 3 = 4 3 > 0

E

f x x P = 2 - 4 3 = - 8 3 < 0

Logo,

P = - 3 2 ( - 4 ) + 6 ,   - 3 2 ( - 4 ) + 6 = 3 2 , 3 2

É um ponto de máximo local e

f 3 2 , 3 2 = - 4 3 ∙ 3 2 2 - 3 2 2 + 2 . 3 2 . 3 2 + 3 2

f 3 2 , 3 2 = - 3 - 9 4 + 9 2 + 3 2

f 3,3 = 12 2 - 6 2 - 9 4 = 6 2 - 9 4

f 3,3 = 3 4

É um máximo local.

Afimativa IV é verdadeira.

Resposta

L e t r a   b

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