Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista. Justifique suas respostas.

b lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x 3

Passo 1

(b) Então pessoal, agora queremos resolver esse aqui:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x 3

Aqui também não dá pra substituir direto, porque ia aparecer um zero no denominador.

Mas aquele módulo ali no numerador é muito suspeito! Esse módulo denuncia que o sinal (positivo ou negativo) pode ser relevante nesse limite.

Outra coisa relevante, é que esse limite se parece muito com esse resultado importante:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Que é o limite trigonométrico fundamental. Você pode usar esse resultado já pronto pra demonstrar outros limites sem problema nenhuma.

Passo 2

Então vamos lá, o que acontece quando o x se aproxima de zero pela direita, ou seja, por valores positivos? Bom, lembra da definição do módulo?

x = x ,       x > 0 - x ,         x < 0

Então, quando o x é positivo ( x → 0 + ), a gente pode escrever o limite assim:

lim x → 0 + ⁡ sen 3 ⁡ 5 x x 3 = lim x → 0 + ⁡ sen 3 ⁡ 5 x x 3

Porque a função seno é positiva quando se aproxima do zero por valores positivos então o módulo nem vai fazer diferença! Se isso estiver confuso é só ver esse gráfico aqui:

Viu? Quando estamos chegando no zero pela direita, o seno sempre fica positivo perto do zero.

E quando a gente se aproxima por valores negativos ( x → 0 - ), ou seja, pela esquerda? Bom, o seno é negativo quando se aproxima de zero pela esquerda, então pela definição do módulo:

lim x → 0 - ⁡ sen 3 ⁡ 5 x   x 3 = l i m x → 0 - - sen 3 ⁡ 5 x   x 3

Beleza, já tiramos o módulo:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x 3 = lim x → 0 + ⁡ sen 3 ⁡ 5 x x 3 lim x → 0 - ⁡ - sen 3 ⁡ 5 x x 3

Passo 3

Agora vamos dar uma olhada nessa expressão que sobrou. Essa é a hora de aproveitar aquele limite trigonométrico fundamental:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Começando pelo caso x → 0 + (vamos chamar de L + ). Primeiro vamos colocar aquele expoente 3 do lado de fora da fração:

L + = lim x → 0 + ⁡ sen 3 ⁡ 5 x x 3 = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ 5 x x 3

Ok, estamos quase fazendo o limite fundamental aparecer. Vamos substituir u = 5 x , que também tende a zero pela direita quando x tende à zero pela direita:

x → 0 +         ⇒           u → 0 +

L + = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ 5 x x 3 = lim u → 0 + ⁡ sen ⁡ u u / 5 3

Tirando aquela constante ( 5 3 = 125 ) :

L + = 125 lim u → 0 + ⁡ sen ⁡ u u 3

Agora é só usar essa propriedade dos limites pra tirar o expoente:

lim x → a ⁡ f x b = lim x → a ⁡ f x b

Então:

L + = 125 lim u → 0 + ⁡ sen ⁡ u u 3 = 125 lim u → 0 + ⁡ sen ⁡ u u 3

Aquele limite no parênteses é o limite trigonométrico fundamental, que a gente sabe que vale 1 , então:

L + = 125 1 3 = 125

E o que acontece com o L - ? É exatamente a mesma coisa, mas com o sinal trocado.

L - = lim x → 0 - ⁡ - sen 3 ⁡ 5 x x 3

Fazendo a mesma substituição de antes:

L - = -   125 lim u → 0 + ⁡ sen ⁡ u u 3 = - 125 lim u → 0 + ⁡ sen ⁡ u u 3

L - = - 125

Passo 4

Então tá, olha o que a gente descobriu:

lim x → 0 + ⁡ sen 3 ⁡ 5 x x 3 = + 125 lim x → 0 - ⁡ - sen 3 ⁡ 5 x x 3 = - 125

O limite pela direita é diferente do limite pela esquerda! Isso quer dizer que o limite não existe!

Então a resposta da letra (b) é essa: o limite não existe, ou então, o limite diverge. Dá uma olhada no gráfico:

Resposta

(b) O limite diverge. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x 3 = 125 e lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x 3 = - 125 .

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)