4. Calcule:

( a )   l i m x → 0   1 - c o s 2 ⁡ ( x ) 1 - e x 2

Passo 1

Para calcular o limite l i m x → 0   1 - c o s - ⁡ ( x ) 1 - e x 2 , vamos usar algumas propriedades trigonométricas e as propriedades dos limites. Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.

  1. Numerador:

1 - c o s 2 ⁡ ( x ) = s i n 2 ⁡ ( x )

  1. Denominador:

1 - e x 2

Agora, podemos reescrever o limite como:

l i m x → 0   s i n 2 ⁡ ( x ) 1 - e x 2

Lembre-se que s i n ⁡ ( x ) ≈ x para valores pequenos de x . Portanto, podemos aproximar s i n 2 ⁡ ( x ) por x 2 .

Passo 2

Agora, temos:

l i m x → 0   x 2 1 - e x 2

Lembre-se que e x 2 cresce muito mais rapidamente do que x 2 à medida que x se aproxima de zero. Isso significa que e x 2 domina o comportamento do limite. E quando x se aproxima de zero, e x 2 se aproxima de 1 .Portanto, podemos considerar e x 2 como 1 no denominador, o que nos dá:

l i m x → 0   x 2 1 - e x 2 ≈ x 2 1 - 1 = x 2 0

O denominador se aproxima de zero, e como o numerador é x 2 , o limite se aproxima de + ∞ à medida que x se aproxima de 0 .

Resposta

l i m x → 0   1 - c o s 2 ⁡ ( x ) 1 - e x 2 = + ∞

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