Calcule:

( c )   l i m x → e +   ( l n ⁡ ( x ) ) 1 x

Passo 1

Vamos calcular o limite l i m x → e +   ( l n ⁡ ( x ) ) 1 / x , onde x se aproxima de e pelo lado direito.Primeiro, vamos analisar o termo ( l n ⁡ ( x ) ) 1 / x quando x se aproxima de e pelo lado direito.

l i m x → e +   ( l n ⁡ ( x ) ) 1 / x

Aqui, estamos interessados em analisar a forma 0 ∘ , que é uma indeterminação. Vamos tentar resolver isso usando a definição de limite.

Usando a propriedade de logaritmo l n ⁡ a b = b l n ⁡ ( a ) , podemos escrever o termo como:

( l n ⁡ ( x ) ) 1 / x = e 1 x l n ⁡ ( l n ⁡ ( x ) )

Passo 2

Agora, vamos analisar o comportamento do expoente quando x se aproxima de e pelo lado direito:

l i m x → e +   1 x l n ⁡ ( l n ⁡ ( x ) )

Vamos usar o fato de que l n ⁡ ( x ) cresce mais lentamente do que x quando x é grande. Portanto, l n ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) cresce muito mais lentamente do que l n ⁡ ( x ) à medida que x cresce.Isso significa que quando x se aproxima de e pelo lado direito, l n ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) se aproxima de l n ⁡ ( l n ⁡ ( e ) ) = l n ⁡ ( 1 ) = 0 , e 1 x se aproxima de 0 .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo e 1 x l n ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) :

l i m x → e +   e 1 x l n ⁡ ( l n ⁡ ( x ) )

Nesse caso, estamos elevando e a um expoente que se aproxima de 0 . Quando o expoente se aproxima de 0 , o valor da exponenciação se aproxima de e 0 = 1 .

Resposta

Portanto, o limite é:

l i m x → e +   ( l n ��� ( x ) ) 1 / x = 1

Ou seja, o limite da expressão é 1 quando x se aproxima de e pelo lado direito.

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