46. Calcule.

e) lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x .

Pra isso, vamos lembrar da igualdade trigonométrica:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

E do limite fundamental:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Passo 2

A dica nesse limite é multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado de 1 - cos ⁡ x porque aí na parte de cima ficamos com:

1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Que aí conseguimos fazer aparecer o seno, já que:

1 - cos 2 ⁡ x = sen 2 ⁡ x

Então:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ ( 1 - cos ⁡ x ) x ⋅ 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 1 + cos ⁡ x

E podemos reescrever como:

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ⋅ sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Passo 3

Usando a propriedade de limites que diz que o limite da multiplicação é a multiplicação dos limites:

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x

O primeiro limite é o fundamental, então:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x

Calculando o segundo:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x = sen ⁡ 0 1 + cos ⁡ 0

= 0 1 + 1

= 0

Portanto:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= 1 ⋅ 0

= 0

Resposta

0

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