Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ 1 - c o s ( a x ) x ²    

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer ao achar um limite é substituir o valor do ponto na função

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ a x x 2   = 1 - cos ⁡ 0 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0  

Então, temos uma indeterminação e precisamos mexer um pouco no limite.

Passo 2

Sempre que você ver um seno ou cosseno sobre um x , x 2 e afins, desconfia do limite fundamental trigonométrico! Aquele que diz que

lim x → a ⁡ s e n … … = 1

Pô, mas ali não tem seno nenhum! O que vamos fazer é multiplicar em cima e embaixo por 1 + cos ⁡ a x e usar a relação fundamental da trigonometria. Vem comigo:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ a x x 2   = lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ a x x 2 ⋅ 1 + cos ⁡ a x 1 + cos ⁡ a x   = lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ a x x 2 ( 1 + cos ⁡ a x )   = lim x → 0 ⁡ s e n 2 a x x 2 ( 1 + cos ⁡ a x )  

Passo 3

Legal o seno acabou de aparecer. Mas se liga que ali ele está ao quadrado e no limite fundamental não tem nada ao quadrado! Olha a malandragem que eu vou fazer

lim x → 0 ⁡ s e n 2 a x x 2 ( 1 + cos ⁡ a x )   = lim x → 0 ⁡ s e n   a x x 2 ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ a x

O limite mais a direita é tranquilo de resolver. Basta substituir 0 na expressão:

lim x → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ a x = 1 1 + 1 = 1 2

Passo 4

O da esquerda tá quase pronto pro limite fundamental! Tá vendo que dentro do seno tem a x e no denominador só está x ? Precisamos multiplicar em cima e embaixo por a , para ficar igualzinho!

lim x → 0 ⁡ s e n   a x x 2 = lim x → 0 ⁡ a ⋅ s e n   a x a ⋅ x 2 = a 2 lim x → 0 ⁡ s e n   a x a x 2

Agora sim temos o limite fundamental trigonométrico, então teremos que

a 2 lim x → 0 ⁡ s e n   a x a x 2 = a 2 ⋅ 1 = a 2

Passo 5

Juntando tudo, temos que:

lim x → 0 ⁡ s e n   a x x 2 ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ a x = a 2 ⋅ 1 2 = a 2 2

Resposta

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Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x
Calcule. lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 , p ≠ 0
Calcule. lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p