Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de l'Hôspital):

h )   l i m t → 0   c o s ⁡ ( 7 t ) - 1 4 t 2

Passo 1

Para calcular o limite l i m t → 0   c o s ⁡ ( 7 t ) - 1 4 t 2 sem usar a regra de I'Hôpital, se formos substituir “direto”o zero teremos uma forma indeterminada 0/0

Para fugirmos da indeterminação devemos fazer uma manobra matemática, vamos considerar a propriedade trigonometria onde:

c o s c o s   2 t   = 2 c o s 2 t - 1

c o s ( 2 x ) = 1 - 2 s i n ² ( x )

Podemos reescrever cos(7t) como:

c o s   ( 7 t ) =   c o s   ( 2 *   3,5 t ) =   2 c o s ²   ( 3,5 t ) - 1

Agora, reescrevemos o limite original:

l i m t → 0   c o s ⁡ ( 7 t ) - 1 4 t 2 = l i m t → 0   2 c o s ²   ( 3,5 t ) - 1 - 1 4 t 2 = l i m t → 0   2 c o s ²   ( 3,5 t ) - 2 4 t 2

Passo 2

Fatoramos o 2 no numerador:

l i m t → 0   2 ( c o s ²   ( 3,5 t ) - 1 ) 4 t 2 = 1 2 l i m t → 0   ( c o s ²   ( 3,5 t ) - 1 ) t 2  

Agora, aplicamos uma identidade trigonométrica adicional:

c o s 2   ( x ) - 1 = - s i n 2   ( x )  

Substituindo temos:

1 2 l i m t → 0   - s e n ²   ( 3,5 t ) t 2

Passo 3

Como queremos usar o limite fundamental trigonométrico

l i m t → 0   s e n   ( x ) x = 1

Vamos multiplicar e dividir por 3,5 2 pra que o denominador seja igual ao argumento do seno

1 2 l i m t → 0   - s e n ²   ( 3,5 t ) t 2 = - 1 2 l i m t → 0   s e n   3,5 t 3,5 t s e n   3,5 t 3,5 t 3,5 2

obtemos

- 1 2 * 3,5 2 = - 1 2 7 2 2 = - 49 8

Resposta

- 49 8

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)